โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

quicksort ใช้สมาชิกตัวแรกเป็นตัวหลักเสมอ อินพุตแบบใดแสดงพฤติกรรมกรณีเลวร้ายที่สุดของมัน

  1. Aอาร์เรย์ที่สมาชิกทุกตัวต่างกัน
  2. Bอาร์เรย์ความยาว 2
  3. Cอาร์เรย์ที่เรียงแบบสุ่ม
  4. Dอาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดการค้นหาแบบทวิภาคจึงไม่ให้เวลา O(log n) บนรายการเชื่อมโยงเดี่ยว

  1. Aการเปรียบเทียบบนโหนดของรายการเชื่อมโยงช้ากว่า
  2. Bรายการเชื่อมโยงเรียงลำดับไม่ได้
  3. Cการค้นหาแบบทวิภาคต้องใช้หน่วยความจำอย่างน้อยสองเท่า
  4. Dการไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ทวิภาคมีราก 1 ลูกซ้าย 2 ลูกขวา 3 โหนด 2 มีลูก 4 (ซ้าย) และ 5 (ขวา) การท่องแบบ postorder คืออะไร

  1. A4 2 5 1 3
  2. B5 4 3 2 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

โครงสร้างข้อมูลใดรองรับแคช LRU (least recently used) ที่ get และ put เป็น O(1)

  1. Aสแตกเท่านั้น
  2. Bhash map ร่วมกับลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
  3. Cbinary search tree เท่านั้น
  4. Dอาร์เรย์เรียงลำดับเดียว
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 4 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 4
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
17713118205ABCDE

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด B ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 2

เริ่มต้น: Bk = 2
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · อาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

บนอินพุตที่เรียงแล้ว ตัวหลักเป็นค่าต่ำสุดเสมอ ฝั่งหนึ่งว่างและอีกฝั่งมี n − 1 ตัว ได้ O(n²)

คำตอบ

D · อาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · การไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การค้นหาแบบทวิภาคต้องเข้าถึงสมาชิกตรงกลางใน O(1) บนรายการเชื่อมโยงการเดินไปถึงต้องใช้เวลาเชิงเส้น ผลรวมจึงเป็น O(n)

คำตอบ

D · การไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · 4 5 2 3 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Postorder ประมวลผล 4 และ 5 ก่อน 2 แล้ว 3 และสุดท้ายราก 1

คำตอบ

D · 4 5 2 3 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · hash map ร่วมกับลิงก์ลิสต์สองทิศทาง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Hash map หาโหนดใน O(1) และลิงก์ลิสต์สองทิศทางย้ายรายการที่เข้าถึงไปด้านหน้าและขับออกจากด้านหลังใน O(1)

คำตอบ

B · hash map ร่วมกับลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 10

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

คำตอบ

L = 10

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม CE

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. BE (5)
2. CE (8)
3. AC (7)
4. BD (11)

เส้นเชื่อมหมายเลข 2

CE

คำตอบ

เส้นเชื่อม CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms