โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของฟีโบนักชีแบบเรียกซ้ำตรง ๆ (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) คือ

  1. Aลอการิทึม
  2. Bเอกซ์โพเนนเชียล
  3. Cคงที่
  4. Dเชิงเส้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เทคนิคใดให้เวลาทำงานคาดหมาย O(n log n) ของ quicksort กับอินพุตใด ๆ

  1. Aเลือกตัวหลักแบบสุ่มสม่ำเสมอ
  2. Bเรียงอินพุตก่อนรัน quicksort
  3. Cเรียกซ้ำเฉพาะฝั่งซ้าย
  4. Dเลือกสมาชิกตัวแรกเสมอ
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ความสูงในกรณีเลวร้ายที่สุดของ binary search tree ที่มี n โหนดคือเท่าใด ถ้าแทรกคีย์ตามลำดับที่เรียงแล้ว

  1. A√n
  2. Bn (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)
  3. C1
  4. Dlog₂ n
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ข้อได้เปรียบหลักของ skip list เหนือลิงก์ลิสต์ที่เรียงลำดับคืออะไร

  1. Aเก็บคีย์โดยไม่เรียงลำดับ
  2. Bไม่ใช้หน่วยความจำเพิ่ม
  3. Cการค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ
  4. Dรับประกันการค้นหา O(1) เพราะทุกโหนดเก็บตัวชี้ไปยังทุกโหนดอื่น
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 3, 2 จุดยอดดีกรี 4, 4 จุดยอดดีกรี 5, 4 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 32 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDEF

มีวอล์กความยาว 3 จาก D ไป F กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 3
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · เอกซ์โพเนนเชียล

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ต้นไม้การเรียกเติบโตประมาณ φⁿ (ราว 1.618ⁿ) การทำ memoisation ลดเหลือ O(n)

คำตอบ

B · เอกซ์โพเนนเชียล
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · เลือกตัวหลักแบบสุ่มสม่ำเสมอ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อเลือกตัวหลักแบบสุ่ม เวลาทำงานคาดหมายเป็น O(n log n) สำหรับทุกอินพุต กรณีแย่ยังมีอยู่แต่เกิดขึ้นได้น้อยมาก

คำตอบ

A · เลือกตัวหลักแบบสุ่มสม่ำเสมอ
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · n (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การแทรกตามลำดับสร้างต้นไม้เสื่อมที่มีความสูง n ทำให้การค้นหาเป็น O(n) ต้นไม้สมดุลป้องกันเรื่องนี้

คำตอบ

B · n (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · การค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระดับแบบสุ่มทำให้การค้นหาข้ามหลายโหนด ได้การค้นหา แทรก และลบ O(log n) คาดหมาย

คำตอบ

C · การค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 21

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 45 = 2(L + 13) − 2
L = 21

คำตอบ

L = 21

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 4

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

อีกหนึ่งก้าว

(M³)DF = 1·0 + 0·0 + 0·0 + 2·1 + 2·1 + 0·0 = 4

คำตอบ

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms