โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมละโมบ (greedy) คือ

Aให้คำตอบที่เหมาะสมที่สุดเสมอ
Bเลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น
Cใช้การเรียกซ้ำเท่านั้น
Dลองทุกคำตอบที่เป็นไปได้

2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึมของ Strassen คูณเมทริกซ์โดยใช้การคูณแบบเรียกซ้ำของบล็อกครึ่งขนาด 7 ครั้งแทนที่จะเป็น 8 ครั้ง เวลาทำงานของมันคือเท่าใด

AΘ(n² log n)
BΘ(n^{log₂ 7}) ประมาณ n^2.81
CΘ(n³)
DΘ(n²)

3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

อัลกอริทึมของ Dijkstra ใช้ชนิดข้อมูลนามธรรมใดเลือกจุดยอดถัดไปที่จะประมวลผล

Aคิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)
Bคิว FIFO
Cสแตก
Dเซตที่ไม่มีลำดับ

4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ภายใต้การแฮชสม่ำเสมออย่างง่าย เวลาคาดหมายของการค้นหาในตารางแฮชแบบ chaining ที่มี n คีย์และ m ถังคือเท่าใด

AO(m)
BO(n)
CO(log n)
DO(1 + α) เมื่อ α = n / m

5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 19 จุดยอดและ 20 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 19|E| = 20

k =

6.ทฤษฎีกราฟยาก

มีวอล์กปิดความยาว 3 ที่เริ่มและจบที่ F กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 3

N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · เลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

อัลกอริทึมละโมบเร็วและให้ผลเหมาะสมที่สุดในบางปัญหา (เช่น Dijkstra, การเข้ารหัส Huffman) แต่ไม่ใช่โดยทั่วไป (เช่น การทอนเหรียญในระบบเหรียญบางแบบ)

คำตอบ

B · เลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น

2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · Θ(n^{log₂ 7}) ประมาณ n^2.81

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อ a = 7 และ b = 2 ค่า n^{log₂ 7} ครอบงำงานบวก O(n²) ได้ประมาณ n^2.81

คำตอบ

B · Θ(n^{log₂ 7}) ประมาณ n^2.81

3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · คิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Min-priority queue ซึ่งมักเป็นฮีปทวิภาค คืนจุดยอดที่ยังไม่เยี่ยมที่มีระยะทางน้อยที่สุดได้อย่างมีประสิทธิภาพ

คำตอบ

A · คิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)

4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(1 + α) เมื่อ α = n / m

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคำนวณแฮชมีต้นทุน O(1) และความยาวโซ่คาดหมายคือ α การรักษา α ให้มีขอบเขตด้วยการปรับขนาดจึงได้เวลาคาดหมาย O(1)

คำตอบ

D · O(1 + α) เมื่อ α = n / m

5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 2

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

19 − 1 = 18

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 20 − 18 = 2

คำตอบ

k = 2

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 2

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ K_n มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 1 1 1 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

อีกหนึ่งก้าว

(M³)_FF = 0·0 + 2·0 + 1·0 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 2

คำตอบ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms