โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ข้อใดเกี่ยวกับฟังก์ชันเรียกซ้ำที่ไม่มีกรณีฐานที่ไปถึงได้ถูกต้อง

  1. Aคอมไพเลอร์แปลงเป็นลูปที่จบอย่างปลอดภัยเสมอ
  2. Bทำงานในเวลา O(1)
  3. Cคืนค่า 0 โดยอัตโนมัติ
  4. Dเรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

Insertion sort ทำงานใน O(n) บนอินพุตที่เรียงแล้ว สิ่งนี้ขัดกับขอบเขตล่าง Ω(n log n) ของการเรียงแบบเปรียบเทียบหรือไม่

  1. Aไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต
  2. Bไม่ขัด เพราะ insertion sort ไม่ใช่การเรียงแบบเปรียบเทียบ
  3. Cขัด ดังนั้นขอบเขตล่างจึงผิด
  4. Dขัด แต่เฉพาะอาร์เรย์ที่สั้นกว่า 100
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เครือข่ายถนนมี 100,000 ทางแยก แต่ละแห่งเชื่อมกับประมาณ 4 แห่ง การแทนแบบใดเหมาะที่สุด

  1. Aฮีปทวิภาคของเส้นเชื่อม
  2. Bเมทริกซ์ประชิด
  3. Cรายการประชิด
  4. Dอาร์เรย์เรียงลำดับเดียวของจุดยอด
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ตรวจว่าลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวมีวงจรหรือไม่โดยใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(1) ได้อย่างไร

  1. Aเลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่
  2. Bเก็บทุกโหนดที่เยี่ยมในเซตแฮช
  3. Cนับโหนดจนเกินกว่าฟิลด์ความยาวของลิสต์
  4. Dเรียงลิสต์และหาตัวซ้ำ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 8 จุดยอดและ 16 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 8|E| = 16
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
141381117611610520ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 11
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · เรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ถ้าไม่มีกรณีฐาน การเรียกซ้ำจะไม่หยุด ในทางปฏิบัติหน่วยความจำสำหรับเฟรมสแต็กหมดและโปรแกรมล่ม

คำตอบ

D · เรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ขอบเขตนี้บอกว่าการเรียงแบบเปรียบเทียบทุกชนิดต้องใช้ประมาณ n log n การเปรียบเทียบกับอินพุตบางแบบขนาด n อินพุตพิเศษอาจเร็วกว่ามาก

คำตอบ

A · ไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · รายการประชิด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมทริกซ์ต้องใช้ 1010 ช่อง เกือบทั้งหมดว่าง รายการประชิดเก็บเพียงรายการเส้นเชื่อมราว 400,000 รายการ

คำตอบ

C · รายการประชิด
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · เลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในอัลกอริทึมของ Floyd ถ้ามีวงจร ตัวชี้เร็วจะไล่ทันตัวช้าในที่สุด มิฉะนั้นตัวชี้เร็วถึง null

คำตอบ

A · เลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 9

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

8 − 1 = 7

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 16 − 7 = 9

คำตอบ

k = 9
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 43

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

DF (1): เลือก
GD (5): เลือก
DE (6): เลือก
BC (8): เลือก
GB (10): เลือก
BD (11): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
AC (13): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 1 + 5 + 6 + 8 + 10 + 13 = 43

คำตอบ

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms