โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมละโมบ (greedy) คือ

  1. Aเลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น
  2. Bลองทุกคำตอบที่เป็นไปได้
  3. Cให้คำตอบที่เหมาะสมที่สุดเสมอ
  4. Dใช้การเรียกซ้ำเท่านั้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

นิยามใดของคลาส NP ถูกต้อง

  1. Aปัญหาที่แก้ในเวลาพหุนามไม่ได้
  2. Bปัญหาการตัดสินใจที่คำตอบ "ใช่" ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเมื่อมีใบรับรอง
  3. Cปัญหาที่ไม่มีอัลกอริทึมใดแก้ได้
  4. Dปัญหาที่ไม่ใช่พหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การตรวจว่ามีเส้นเชื่อม (u, v) หรือไม่ด้วยเมทริกซ์ประชิดใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(1)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เหตุใดเซิร์ฟเวอร์จึงเลือกฟังก์ชันแฮชแบบสุ่มจากตระกูลสากล (universal family)

  1. Aเพื่อรับประกันว่าไม่มีคีย์สองตัวชนกันเลย ไม่ว่าผู้โจมตีจะส่งคีย์ใดมา
  2. Bเพื่อตัดความจำเป็นในการปรับขนาดตาราง
  3. Cเพื่อทำให้ตารางแฮชเรียงลำดับ
  4. Dเพื่อทำให้ผู้โจมตีเลือกคีย์จำนวนมากที่ชนกันทั้งหมดได้ยากมาก
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 7
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
111319169181714ABCDEF

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 6|E| = 8
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · เลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

อัลกอริทึมละโมบเร็วและให้ผลเหมาะสมที่สุดในบางปัญหา (เช่น Dijkstra, การเข้ารหัส Huffman) แต่ไม่ใช่โดยทั่วไป (เช่น การทอนเหรียญในระบบเหรียญบางแบบ)

คำตอบ

A · เลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ปัญหาการตัดสินใจที่คำตอบ "ใช่" ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเมื่อมีใบรับรอง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สำหรับปัญหา NP คำตอบที่เสนอ (ใบรับรอง) ตรวจได้อย่างรวดเร็ว เช่น การตรวจว่าการกำหนดค่าที่ให้มาทำให้สูตรบูลีนเป็นจริง

คำตอบ

B · ปัญหาการตัดสินใจที่คำตอบ "ใช่" ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเมื่อมีใบรับรอง
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ช่องของเมทริกซ์ที่แถว u คอลัมน์ v บอกทันทีว่ามีเส้นเชื่อมหรือไม่ รายการประชิดอาจต้องสแกนข้างเคียงของ u

คำตอบ

A · O(1)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · เพื่อทำให้ผู้โจมตีเลือกคีย์จำนวนมากที่ชนกันทั้งหมดได้ยากมาก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ด้วยการแฮชสากล จำนวนการชนกันคาดหมายน้อยสำหรับเซตคีย์ใด ๆ เพราะผู้โจมตีไม่ทราบว่าเลือกฟังก์ชันใด

คำตอบ

D · เพื่อทำให้ผู้โจมตีเลือกคีย์จำนวนมากที่ชนกันทั้งหมดได้ยากมาก
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

จุดยอดคี่

C, E → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 66

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

CE (9): เลือก
AB (11): เลือก
AC (13): เลือก
BE (14): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
BD (16): เลือก
EF (17): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 9 + 11 + 13 + 16 + 17 = 66

คำตอบ

W = 66

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms