โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การค้นหาในแนวกว้าง (BFS) บนกราฟที่ไม่มีน้ำหนักให้ผลเป็น

  1. Aเส้นทางสั้นที่สุดในกราฟที่มีเส้นเชื่อมน้ำหนักติดลบ
  2. Bลำดับทอพอโลยีในทุกกราฟ
  3. Cเส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น
  4. Dต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุด
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึมของ Strassen คูณเมทริกซ์โดยใช้การคูณแบบเรียกซ้ำของบล็อกครึ่งขนาด 7 ครั้งแทนที่จะเป็น 8 ครั้ง เวลาทำงานของมันคือเท่าใด

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81
  4. DΘ(n² log n)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์เต็ม (perfect binary tree) ที่มีความสูง h มีกี่โหนด เมื่อความสูงนับเป็นเส้นเชื่อม

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h
  3. C2h + 1
  4. Dh2
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

อัลกอริทึมของ Kahn สำหรับการเรียงทอพอโลยีลบจุดยอดที่มี in-degree 0 ซ้ำ ๆ โครงสร้างใดเก็บจุดยอดเหล่านั้น

  1. Aสแตกของเส้นเชื่อมที่เยี่ยมทั้งหมด
  2. Bคิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0
  3. Cเมทริกซ์ประชิดที่บันทึกว่าจุดยอดใดถูกลบไปแล้ว
  4. Dmax-heap เรียงตาม out-degree
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 6|E| = 7
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
41510447491315ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · เส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

BFS เยี่ยมโหนดตามลำดับระยะทาง (จำนวนเส้นเชื่อม) จากต้นทาง จึงหาเส้นทางสั้นที่สุดแบบไม่มีน้ำหนักได้ใน O(V + E)

คำตอบ

C · เส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · Θ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อ a = 7 และ b = 2 ค่า nlog₂ 7 ครอบงำงานบวก O(n²) ได้ประมาณ n2.81

คำตอบ

C · Θ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · 2h+1 − 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การรวม 1 + 2 + 4 + ... + 2h ได้ 2h+1 − 1 เช่น ความสูง 2 ได้ 7 โหนด

คำตอบ

A · 2h+1 − 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · คิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จุดยอดที่พร้อมถูกเก็บในคิว การลบหนึ่งจุดลด in-degree ของข้างเคียง และตัวที่ถึง 0 ถูกเพิ่ม ได้เวลา O(V + E)

คำตอบ

B · คิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

จุดยอดคี่

A, C, D, E → 4
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 18

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 4
B (4): C: 19, D: 14, G: 8
G (8): C: 17, E: 23
D (14): E: 18, F: 18
C (17)
E (18)
F (18)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → D → F
d(F) = 18

คำตอบ

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms