โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมการเรียงลำดับใดเป็นแบบเสถียร (stable)

  1. AHeap sort
  2. BSelection sort (แบบทั่วไป)
  3. CQuicksort (แบบทำในที่เดิมทั่วไป)
  4. DMerge sort
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับ P และ NP ถูกต้อง

  1. Aปัญหา NP ตรวจสอบอย่างรวดเร็วไม่ได้
  2. Bได้พิสูจน์แล้วว่า P ≠ NP
  3. Cทุกปัญหาใน P อยู่ใน NP ด้วย
  4. DNP หมายถึง "ไม่ใช่พหุนาม"
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

หาคีย์ที่น้อยที่สุดใน binary search tree ได้อย่างไร

  1. Aดูเฉพาะราก
  2. Bตามลูกขวาจากรากจนไม่มีลูกขวา
  3. Cเยี่ยมทุกใบและเปรียบเทียบกัน
  4. Dตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ในบัฟเฟอร์วงกลม front == rear อาจหมายถึงว่างหรือเต็ม วิธีทั่วไปในการแยกสองกรณีคืออะไร

  1. Aล้างบัฟเฟอร์ทุกครั้งที่ front เท่ากับ rear ดังนั้นสถานะจึงเป็นว่าง
  2. Bเก็บ front และ rear ในตัวแปรเดียวกัน
  3. Cทำให้ขนาดบัฟเฟอร์เป็นเลขกำลังสอง
  4. Dเก็บจำนวนสมาชิกแยกต่างหาก หรือเว้นหนึ่งช่องไว้เสมอ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 2 จุดยอดดีกรี 4, 3 จุดยอดดีกรี 5, 4 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

2 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
41316314102015ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 3 เส้นที่ถูกข้ามไม่นับ

k = 3
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม DF
  8. 8เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · Merge sort

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Merge sort เสถียรเมื่อการผสานหยิบจากครึ่งซ้ายก่อนในกรณีที่เท่ากัน ส่วน quicksort แบบทำในที่เดิม heap sort และ selection sort มักไม่เสถียร

คำตอบ

D · Merge sort
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ทุกปัญหาใน P อยู่ใน NP ด้วย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

P ⊆ NP: ถ้าแก้ปัญหาได้เร็ว ก็ตรวจสอบคำตอบได้เร็ว ส่วนคำถามว่า P = NP หรือไม่ยังเป็นปัญหาเปิด

คำตอบ

C · ทุกปัญหาใน P อยู่ใน NP ด้วย
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดซ้ายสุดไม่มีคีย์ที่เล็กกว่าในต้นไม้ จึงเป็นค่าต่ำสุด ต้นทุนแปรผันตามความสูง

คำตอบ

D · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · เก็บจำนวนสมาชิกแยกต่างหาก หรือเว้นหนึ่งช่องไว้เสมอ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อมีตัวนับ ว่างคือ count = 0 และเต็มคือ count = ความจุ เมื่อเว้นหนึ่งช่อง เต็มนิยามเป็น (rear + 1) mod n == front

คำตอบ

D · เก็บจำนวนสมาชิกแยกต่างหาก หรือเว้นหนึ่งช่องไว้เสมอ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 15

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 31 = 2(L + 9) − 2
L = 15

คำตอบ

L = 15

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม DE

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

1. BD (3)
2. AB (4)
3. DE (10)
4. AC (13)
5. DF (20)

เส้นเชื่อมหมายเลข 3

DE

คำตอบ

เส้นเชื่อม DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms