โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาเฉลี่ยแบบกระจายต้นทุน (amortised) ของการต่อท้ายอาร์เรย์พลวัตที่เพิ่มความจุเป็นสองเท่าเมื่อเต็มคือเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

กฎละโมบ "หยิบสิ่งของตามลำดับมูลค่าต่อน้ำหนัก" ให้คำตอบเหมาะสมที่สุดเสมอในปัญหา knapsack แบบใด

  1. Aไม่ใช่ทั้งสองแบบ
  2. B0/1 knapsack ซึ่งต้องหยิบสิ่งของทั้งชิ้นเสมอ
  3. Cfractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
  4. Dทั้งสองแบบ
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ความสูงในกรณีเลวร้ายที่สุดของ binary search tree ที่มี n โหนดคือเท่าใด ถ้าแทรกคีย์ตามลำดับที่เรียงแล้ว

  1. An (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)
  2. Blog₂ n
  3. C√n
  4. D1
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เพื่อให้ตารางแฮชทำงานถูกต้อง แฮชและความเท่ากันต้องเป็นไปตามกฎใด

  1. Aคีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน
  2. Bค่าแฮชที่เท่ากันหมายถึงคีย์เท่ากัน
  3. Cคีย์ที่ต่างกันต้องมีค่าแฮชต่างกัน
  4. Dค่าแฮชต้องเป็นจำนวนเฉพาะ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K6 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K6
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
8119711421617ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 2 เส้นที่ถูกข้ามไม่นับ

k = 2
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม DF
  8. 8เส้นเชื่อม EF
  9. 9เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคัดลอกสมาชิกทั้งหมดเกิดขึ้นเฉพาะที่เลขกำลังสอง เมื่อกระจายต้นทุนตลอดทุกการต่อท้าย ค่าเฉลี่ยต่อหนึ่งครั้งจึงคงที่

คำตอบ

D · O(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อแบ่งสิ่งของได้ การเลือกอัตราส่วนดีที่สุดก่อนเหมาะสมที่สุด ใน 0/1 knapsack สิ่งของอัตราส่วนสูงอาจขวางชุดที่ดีกว่า จึงต้องใช้การโปรแกรมพลวัต

คำตอบ

C · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · n (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การแทรกตามลำดับสร้างต้นไม้เสื่อมที่มีความสูง n ทำให้การค้นหาเป็น O(n) ต้นไม้สมดุลป้องกันเรื่องนี้

คำตอบ

A · n (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · คีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หากสองคีย์ที่เท่ากันแฮชต่างกัน จะถูกเก็บในถังต่างกันและการค้นหาจะล้มเหลว คีย์ที่ไม่เท่ากันยังใช้แฮชร่วมกันได้

คำตอบ

A · คีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 60

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

คำตอบ

H = 60
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม DF

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

1. AC (1)
2. DF (2)
3. DE (4)
4. BD (7)
5. AB (8)

เส้นเชื่อมหมายเลข 2

DF

คำตอบ

เส้นเชื่อม DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms