โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + O(n) มีผลเฉลยเป็น

AO(n)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(n²)

2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึมใดหาต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่ถูกที่สุดซึ่งไม่ก่อวงจรซ้ำ ๆ

Aอัลกอริทึมของ Kruskal
Bอัลกอริทึมของ Prim ที่เริ่มจากโหนดเดียว
CFloyd–Warshall
Dอัลกอริทึมของ Dijkstra

3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

หาคีย์ที่น้อยที่สุดใน binary search tree ได้อย่างไร

Aเยี่ยมทุกใบและเปรียบเทียบกัน
Bตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย
Cตามลูกขวาจากรากจนไม่มีลูกขวา
Dดูเฉพาะราก

4.โครงสร้างข้อมูลยาก

segment tree มักใช้เพื่อ

Aสร้างสแตก
Bเรียงสตริงตามตัวอักษรโดยเก็บแต่ละคำนำหน้าไว้ในโหนดต้นไม้แยกกัน
Cเก็บเส้นเชื่อมของกราฟ
Dตอบคำถามช่วง (เช่น ผลรวมช่วง) และอัปเดตใน O(log n)

5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K₆ มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K₆

H =

6.ทฤษฎีกราฟยาก

มีวอล์กปิดความยาว 3 ที่เริ่มและจบที่ B กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 3

N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โดยทฤษฎีบทหลัก (a = 2, b = 2, f(n) = n) ได้ T(n) = Θ(n log n)

คำตอบ

B · O(n log n)

2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · อัลกอริทึมของ Kruskal

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Kruskal เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและเพิ่มเมื่อเชื่อมคนละส่วนประกอบ ส่วน Prim ขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น

คำตอบ

A · อัลกอริทึมของ Kruskal

3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดซ้ายสุดไม่มีคีย์ที่เล็กกว่าในต้นไม้ จึงเป็นค่าต่ำสุด ต้นทุนแปรผันตามความสูง

คำตอบ

B · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย

4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · ตอบคำถามช่วง (เช่น ผลรวมช่วง) และอัปเดตใน O(log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Segment tree เก็บค่ารวมของช่วง รองรับคำถามช่วงและการอัปเดตจุดในเวลา O(log n)

คำตอบ

D · ตอบคำถามช่วง (เช่น ผลรวมช่วง) และอัปเดตใน O(log n)

5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 60

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

คำตอบ

H = 60

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 6

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ K_n มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

อีกหนึ่งก้าว

(M³)_BB = 1·1 + 4·0 + 2·1 + 1·1 + 2·1 = 6

คำตอบ

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms