โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาเฉลี่ยแบบกระจายต้นทุน (amortised) ของการต่อท้ายอาร์เรย์พลวัตที่เพิ่มความจุเป็นสองเท่าเมื่อเต็มคือเท่าใด

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เพื่อแสดงว่าปัญหาใหม่ X เป็น NP-hard คุณต้องทำอะไร

  1. Aแสดงว่า X ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม
  2. Bลดรูปปัญหา NP-hard ที่ทราบมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
  3. Cลดรูป X ไปเป็นปัญหา NP-hard ที่ทราบในเวลาพหุนาม
  4. Dแสดงว่า X ไม่มีอัลกอริทึมพหุนามสำหรับอินพุตเล็ก
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เมทริกซ์ประชิด (adjacency matrix) ของกราฟที่มี V จุดยอดใช้หน่วยความจำเท่าใด

  1. AO(V²)
  2. BO(V + E)
  3. CO(log V)
  4. DO(E)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

โหนด AVL ไม่สมดุลเพราะต้นไม้ย่อยขวาของลูกซ้ายสูงเกินไป (กรณีซ้าย–ขวา) ใช้วิธีแก้ใด

  1. Aหมุนซ้ายหนึ่งครั้งที่โหนด
  2. Bหมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด
  3. Cหมุนขวาที่ลูกซ้าย แล้วหมุนซ้ายที่โหนด
  4. Dหมุนขวาหนึ่งครั้งที่โหนด
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 6|E| = 7
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
39134141589ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคัดลอกสมาชิกทั้งหมดเกิดขึ้นเฉพาะที่เลขกำลังสอง เมื่อกระจายต้นทุนตลอดทุกการต่อท้าย ค่าเฉลี่ยต่อหนึ่งครั้งจึงคงที่

คำตอบ

D · O(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ลดรูปปัญหา NP-hard ที่ทราบมาเป็น X ในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ถ้าปัญหายากที่ทราบแปลงเป็น X ได้อย่างมีประสิทธิภาพ อัลกอริทึมเร็วสำหรับ X ก็จะแก้ปัญหาที่ทราบได้ด้วย

คำตอบ

B · ลดรูปปัญหา NP-hard ที่ทราบมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · O(V²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมทริกซ์ประชิดเก็บ V × V ช่อง มีประสิทธิภาพสำหรับกราฟหนาแน่น ส่วนรายการประชิดใช้ O(V + E) ดีกว่าสำหรับกราฟเบาบาง

คำตอบ

A · O(V²)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · หมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การหมุนครั้งแรกเปลี่ยนกรณีซ้าย–ขวาเป็นซ้าย–ซ้าย ซึ่งการหมุนขวาที่โหนดไม่สมดุลแก้ได้

คำตอบ

B · หมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

จุดยอดคี่

A, E → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: F

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 3, C: 9
2. B (3): D: 7
3. D (7): E: 22, F: 15
4. C (9)
5. F (15)
6. E (22)

รอบ 5

F

คำตอบ

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms