โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ข้อใดเกี่ยวกับฟังก์ชันเรียกซ้ำที่ไม่มีกรณีฐานที่ไปถึงได้ถูกต้อง

  1. Aทำงานในเวลา O(1)
  2. Bคอมไพเลอร์แปลงเป็นลูปที่จบอย่างปลอดภัยเสมอ
  3. Cเรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น
  4. Dคืนค่า 0 โดยอัตโนมัติ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาหนึ่งเป็น NP-complete ถ้ามัน

  1. Aแก้ไม่ได้เลย
  2. Bอยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม
  3. Cแก้ได้ในเวลาพหุนาม
  4. Dอยู่นอก NP แต่ยากกว่าทุกปัญหา NP เช่น ปัญหาการหยุด
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ AVL รักษาเงื่อนไขสมดุลใดที่ทุกโหนด

  1. Aต้นไม้ย่อยทั้งสองของทุกโหนดมีจำนวนโหนดเท่ากันพอดี
  2. Bใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกันพอดี
  3. Cความสูงของต้นไม้ย่อยซ้ายและขวาต่างกันไม่เกิน 1
  4. Dทุกโหนดถูกระบายสีแดงหรือดำ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

การลบโหนดที่มีลูกสองตัวจาก binary search tree มักทำโดย

  1. Aสลับกับราก
  2. Bลบต้นไม้ย่อยทั้งหมด
  3. Cแทนที่ด้วย in-order successor (หรือ predecessor) แล้วลบโหนดนั้น
  4. Dสร้างต้นไม้ย่อยที่อยู่ใต้โหนดนั้นขึ้นใหม่ทั้งหมดแล้วแทรกคีย์ทุกตัวที่เคยมีอยู่ลงไปใหม่
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 4 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 4
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
8810138914101014ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · เรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ถ้าไม่มีกรณีฐาน การเรียกซ้ำจะไม่หยุด ในทางปฏิบัติหน่วยความจำสำหรับเฟรมสแต็กหมดและโปรแกรมล่ม

คำตอบ

C · เรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · อยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ปัญหา NP-complete เป็นปัญหาที่ยากที่สุดใน NP ถ้ามีอัลกอริทึมพหุนามสำหรับปัญหาหนึ่ง ก็จะมีสำหรับทั้ง NP

คำตอบ

B · อยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ความสูงของต้นไม้ย่อยซ้ายและขวาต่างกันไม่เกิน 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตัวประกอบสมดุล (ความสูงซ้าย − ความสูงขวา) ต้องเป็น −1, 0 หรือ 1 การหมุนคืนสมดุลหลังการแทรกและการลบ

คำตอบ

C · ความสูงของต้นไม้ย่อยซ้ายและขวาต่างกันไม่เกิน 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · แทนที่ด้วย in-order successor (หรือ predecessor) แล้วลบโหนดนั้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

In-order successor มีลูกไม่เกินหนึ่งตัว จึงลบได้ง่ายหลังคัดลอกคีย์ไปยังโหนดที่ถูกลบ

คำตอบ

C · แทนที่ด้วย in-order successor (หรือ predecessor) แล้วลบโหนดนั้น
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 8

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

คำตอบ

L = 8

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 35

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 8
B (8): C: 16, G: 22
C (16): E: 26
G (22): D: 32
E (26): F: 35
D (32)
F (35)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → C → E → F
d(F) = 35

คำตอบ

d(F) = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms