โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) ทำงาน O(1) คือเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ใน min-heap ทวิภาคที่เก็บในอาร์เรย์ (ดัชนีเริ่มที่ 0) ลูกของโหนดที่ดัชนี i อยู่ที่

  1. Ai/2 และ i/2 + 1
  2. B2i + 1 และ 2i + 2
  3. C2i และ 2i + 1
  4. Di + 1 และ i + 2
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คุณต้องเก็บค่าที่น้อยที่สุด k ตัวจากสตรีมของตัวเลข n ตัวโดยใช้หน่วยความจำ O(k) แนวทางใดทำงานใน O(n log k)

  1. Amin-heap ที่เก็บค่าทั้ง n ตัว แล้วดึงค่าที่น้อยที่สุด k ตัวออกมาตอนท้าย
  2. Bคิว FIFO ของ k ค่าล่าสุด
  3. Cmax-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
  4. Dอาร์เรย์เรียงลำดับของค่าทั้ง n
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 12
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
1814495120ABCDE

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด E ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 2

เริ่มต้น: Ek = 2
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โดยทฤษฎีบทหลัก nlog₂ 2 = n ครอบงำงานคงที่ จึงได้ T(n) = Θ(n) เช่น การหาค่ามากสุดโดยแบ่งครึ่งเรื่อย ๆ

คำตอบ

A · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ผลรวมคือ n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn และจำนวนฮาร์มอนิก Hn เป็น Θ(log n)

คำตอบ

A · O(n log n)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · 2i + 1 และ 2i + 2

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สำหรับอาร์เรย์ที่เริ่มที่ 0 ลูกซ้ายอยู่ที่ 2i + 1 ลูกขวาที่ 2i + 2 และแม่ที่ ⌊(i − 1)/2⌋

คำตอบ

B · 2i + 1 และ 2i + 2
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

รากของ max-heap คือค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เก็บไว้ ค่าใหม่ที่เล็กกว่าแทนที่มันใน O(log k) ฮีปจึงเก็บ k ค่าที่น้อยที่สุดจนถึงขณะนั้นเสมอ

คำตอบ

C · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม CE

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. DE (1)
2. CE (5)
3. BC (4)
4. AC (14)

เส้นเชื่อมหมายเลข 2

CE

คำตอบ

เส้นเชื่อม CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms