โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + O(n) มีผลเฉลยเป็น

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับ P และ NP ถูกต้อง

  1. Aทุกปัญหาใน P อยู่ใน NP ด้วย
  2. Bปัญหา NP ตรวจสอบอย่างรวดเร็วไม่ได้
  3. CNP หมายถึง "ไม่ใช่พหุนาม"
  4. Dได้พิสูจน์แล้วว่า P ≠ NP
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

บัฟเฟอร์วงกลม (circular buffer หรือ ring buffer) มักใช้สร้าง

  1. Aคิวขนาดคงที่
  2. Bต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาค
  3. Cฟังก์ชันแฮช
  4. Dการท่องกราฟ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

splay tree ทำอะไรหลังการเข้าถึงแต่ละครั้ง

  1. Aสร้างต้นไม้ใหม่ทั้งหมดให้สมดุล
  2. Bย้ายโหนดที่เข้าถึงไปเป็นใบ
  3. Cเปลี่ยนสีโหนดตามเส้นทางการค้นหา
  4. Dหมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 8 จุดยอดและ 8 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 8|E| = 8
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
12561057156ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โดยทฤษฎีบทหลัก (a = 2, b = 2, f(n) = n) ได้ T(n) = Θ(n log n)

คำตอบ

B · O(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ทุกปัญหาใน P อยู่ใน NP ด้วย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

P ⊆ NP: ถ้าแก้ปัญหาได้เร็ว ก็ตรวจสอบคำตอบได้เร็ว ส่วนคำถามว่า P = NP หรือไม่ยังเป็นปัญหาเปิด

คำตอบ

A · ทุกปัญหาใน P อยู่ใน NP ด้วย
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · คิวขนาดคงที่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Ring buffer ใช้ดัชนีหัวและท้ายที่วนกลับ ให้ enqueue และ dequeue ใน O(1) ด้วยหน่วยความจำคงที่

คำตอบ

A · คิวขนาดคงที่
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · หมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การ splay ย้ายโหนดที่เข้าถึงไปที่รากด้วยการหมุน การดำเนินการหนึ่งครั้งอาจใช้ O(n) แต่ต้นทุนกระจายเป็น O(log n)

คำตอบ

D · หมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 1

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

8 − 1 = 7

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 8 − 7 = 1

คำตอบ

k = 1
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 30

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): C: 12
C (12): B: 17, E: 22
B (17): D: 23
E (22): F: 37
D (23): F: 30
F (30)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → B → D → F
d(F) = 30

คำตอบ

d(F) = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms