โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เหตุใดจึงมักละฐานของลอการิทึมใน Big O เช่น O(log n)

  1. Aลอการิทึมที่ฐานต่างกันต่างกันเพียงตัวคูณคงที่
  2. Bลอการิทึมทั้งหมดในวิทยาการคอมพิวเตอร์มีฐาน 10 จึงไม่ต้องระบุ
  3. Cฐานมีความสำคัญเฉพาะเมื่อ n น้อย
  4. Dลอการิทึมถูกปัดเป็นจำนวนเต็มเสมอ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับ P และ NP ถูกต้อง

  1. ANP หมายถึง "ไม่ใช่พหุนาม"
  2. Bได้พิสูจน์แล้วว่า P ≠ NP
  3. Cปัญหา NP ตรวจสอบอย่างรวดเร็วไม่ได้
  4. Dทุกปัญหาใน P อยู่ใน NP ด้วย
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ AVL และต้นไม้แดง–ดำ (red-black) รับประกัน

  1. Aการค้นหาในเวลาคงที่ทุกกรณี
  2. Bความสูง O(log n) ผ่านการปรับสมดุลใหม่
  3. Cคีย์ถูกเก็บตามลำดับการแทรก
  4. Dไม่มีโหนดใดมีลูกสองตัว
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ข้อได้เปรียบหลักของ skip list เหนือลิงก์ลิสต์ที่เรียงลำดับคืออะไร

  1. Aเก็บคีย์โดยไม่เรียงลำดับ
  2. Bไม่ใช้หน่วยความจำเพิ่ม
  3. Cรับประกันการค้นหา O(1) เพราะทุกโหนดเก็บตัวชี้ไปยังทุกโหนดอื่น
  4. Dการค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 4, 3 จุดยอดดีกรี 5 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 43 × deg 5
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
171013204181ABCDE

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 5|E| = 7
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ลอการิทึมที่ฐานต่างกันต่างกันเพียงตัวคูณคงที่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเปลี่ยนฐานคูณลอการิทึมด้วยค่าคงที่ และ Big O ไม่สนใจตัวคูณคงที่

คำตอบ

A · ลอการิทึมที่ฐานต่างกันต่างกันเพียงตัวคูณคงที่
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ทุกปัญหาใน P อยู่ใน NP ด้วย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

P ⊆ NP: ถ้าแก้ปัญหาได้เร็ว ก็ตรวจสอบคำตอบได้เร็ว ส่วนคำถามว่า P = NP หรือไม่ยังเป็นปัญหาเปิด

คำตอบ

D · ทุกปัญหาใน P อยู่ใน NP ด้วย
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · ความสูง O(log n) ผ่านการปรับสมดุลใหม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ต้นไม้ปรับสมดุลตัวเองรักษาความสูงเป็นลอการิทึม การค้นหา แทรก และลบจึงเป็น O(log n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด

คำตอบ

B · ความสูง O(log n) ผ่านการปรับสมดุลใหม่
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · การค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระดับแบบสุ่มทำให้การค้นหาข้ามหลายโหนด ได้การค้นหา แทรก และลบ O(log n) คาดหมาย

คำตอบ

D · การค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 17

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 27 = 2(L + 6) − 2
L = 17

คำตอบ

L = 17

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 33

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BE (1): เลือก
CE (4): เลือก
AC (10): เลือก
BC (13): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
AB (17): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
DE (18): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 1 + 4 + 10 + 18 = 33

คำตอบ

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms