โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = T(n/2) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

Insertion sort ทำงานใน O(n) บนอินพุตที่เรียงแล้ว สิ่งนี้ขัดกับขอบเขตล่าง Ω(n log n) ของการเรียงแบบเปรียบเทียบหรือไม่

  1. Aไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต
  2. Bขัด แต่เฉพาะอาร์เรย์ที่สั้นกว่า 100
  3. Cไม่ขัด เพราะ insertion sort ไม่ใช่การเรียงแบบเปรียบเทียบ
  4. Dขัด ดังนั้นขอบเขตล่างจึงผิด
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โหนดใน binary search tree มีต้นไม้ย่อยขวา in-order successor ของมันอยู่ที่ใด

  1. Aลูกขวาของมันเสมอ
  2. Bแม่ของมันเสมอ
  3. Cโหนดขวาสุดของต้นไม้ย่อยซ้าย
  4. Dโหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ตรวจว่าลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวมีวงจรหรือไม่โดยใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(1) ได้อย่างไร

  1. Aเลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่
  2. Bเรียงลิสต์และหาตัวซ้ำ
  3. Cเก็บทุกโหนดที่เยี่ยมในเซตแฮช
  4. Dนับโหนดจนเกินกว่าฟิลด์ความยาวของลิสต์
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 6 จุดยอดและ 7 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 6|E| = 7
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
171318367ABCDE

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 5|E| = 7
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ปัญหาลดลงครึ่งหนึ่งทุกขั้นโดยทำงานคงที่ต่อขั้น จึงมีประมาณ log₂ n ขั้นตอน

คำตอบ

B · O(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ขอบเขตนี้บอกว่าการเรียงแบบเปรียบเทียบทุกชนิดต้องใช้ประมาณ n log n การเปรียบเทียบกับอินพุตบางแบบขนาด n อินพุตพิเศษอาจเร็วกว่ามาก

คำตอบ

A · ไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

คีย์ที่ใหญ่กว่าที่อยู่ใกล้โหนดอยู่ในต้นไม้ย่อยขวา และตัวที่เล็กที่สุดคือโหนดซ้ายสุดที่นั่น

คำตอบ

D · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · เลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในอัลกอริทึมของ Floyd ถ้ามีวงจร ตัวชี้เร็วจะไล่ทันตัวช้าในที่สุด มิฉะนั้นตัวชี้เร็วถึง null

คำตอบ

A · เลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 2

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

6 − 1 = 5

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 7 − 5 = 2

คำตอบ

k = 2
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 23

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BC (1): เลือก
CE (3): เลือก
DE (6): เลือก
BE (7): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
BD (8): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
AC (13): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 1 + 3 + 6 + 13 = 23

คำตอบ

W = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms