โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การค้นหาในแนวกว้าง (BFS) บนกราฟที่ไม่มีน้ำหนักให้ผลเป็น

  1. Aเส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น
  2. Bลำดับทอพอโลยีในทุกกราฟ
  3. Cต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุด
  4. Dเส้นทางสั้นที่สุดในกราฟที่มีเส้นเชื่อมน้ำหนักติดลบ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดอัลกอริทึมของ Dijkstra จึงอาจให้ผลผิดเมื่อน้ำหนักเส้นเชื่อมบางเส้นติดลบ

  1. Aใช้ได้กับกราฟไม่มีทิศทางเท่านั้น
  2. Bจุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน
  3. Cเข้าสู่ลูปไม่สิ้นสุดทุกครั้งที่พบเส้นเชื่อมติดลบ
  4. Dตัวเลขติดลบเก็บในคิวลำดับความสำคัญไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อตารางแฮช rehash หลังตัวประกอบการโหลดเกินเกณฑ์

  1. Aคีย์เก่าที่สุดถูกลบเพื่อให้มีที่ว่าง
  2. Bคีย์ที่มีอยู่ถูกเรียงในที่เดิม
  3. Cจัดสรรตารางใหม่ที่ใหญ่กว่าและแทรกทุกคีย์ใหม่
  4. Dย้ายเฉพาะคีย์ที่ชนกันไปยังลิสต์ล้นใหม่ที่ท้ายตาราง
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เหตุใดจึงลบสมาชิกออกจาก Bloom filter มาตรฐานโดยเพียงล้างบิตของมันไม่ได้

  1. ABloom filter เก็บสมาชิกเต็มรูป ซึ่งเมื่อถูกแฮชแล้วหาไม่พบอีก
  2. Bบิตใน Bloom filter เปลี่ยนไม่ได้หลังสร้าง
  3. Cบิตเหล่านั้นอาจเป็นของสมาชิกอื่นด้วย ซึ่งจะทำให้เกิดผลลบเท็จ
  4. Dการลบจะเพิ่มอัตราผลบวกเท็จเป็น 100%
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 6|E| = 9
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
61312107891ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 4 เส้นที่ถูกข้ามไม่นับ

k = 4
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม CE
  5. 5เส้นเชื่อม DE
  6. 6เส้นเชื่อม DF
  7. 7เส้นเชื่อม EF
  8. 8เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · เส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

BFS เยี่ยมโหนดตามลำดับระยะทาง (จำนวนเส้นเชื่อม) จากต้นทาง จึงหาเส้นทางสั้นที่สุดแบบไม่มีน้ำหนักได้ใน O(V + E)

คำตอบ

A · เส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · จุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ขั้นตอนละโมบพึ่งพาน้ำหนักที่ไม่เป็นลบเพื่อให้ระยะทางที่ดึงออกเป็นค่าสุดท้าย เมื่อน้ำหนักอาจติดลบให้ใช้ Bellman–Ford

คำตอบ

B · จุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · จัดสรรตารางใหม่ที่ใหญ่กว่าและแทรกทุกคีย์ใหม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เนื่องจากดัชนีคำนวณแบบ modulo ขนาดตาราง ทุกคีย์ต้องถูกแฮชใหม่ลงตารางที่ใหญ่ขึ้น เมื่อเพิ่มเป็นสองเท่า ยังคงเป็น O(1) แบบกระจายต้นทุน

คำตอบ

C · จัดสรรตารางใหม่ที่ใหญ่กว่าและแทรกทุกคีย์ใหม่
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · บิตเหล่านั้นอาจเป็นของสมาชิกอื่นด้วย ซึ่งจะทำให้เกิดผลลบเท็จ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การล้างบิตที่ใช้ร่วมกันจะทำให้สมาชิกอื่นดูเหมือนไม่อยู่ counting Bloom filter เก็บตัวนับแทนบิตเพื่อให้ลบได้

คำตอบ

C · บิตเหล่านั้นอาจเป็นของสมาชิกอื่นด้วย ซึ่งจะทำให้เกิดผลลบเท็จ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

จุดยอดคี่

C, D → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม DF

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

1. BE (1)
2. AB (6)
3. DE (7)
4. DF (8)
5. CE (10)

เส้นเชื่อมหมายเลข 4

DF

คำตอบ

เส้นเชื่อม DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms