โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมการเรียงลำดับใดเป็นแบบเสถียร (stable)

  1. ASelection sort (แบบทั่วไป)
  2. BQuicksort (แบบทำในที่เดิมทั่วไป)
  3. CMerge sort
  4. DHeap sort
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหา 0/1 knapsack ที่แก้ด้วยการโปรแกรมพลวัตใช้เวลา O(nW) เหตุใดจึงเรียกว่าเวลาแบบกึ่งพหุนาม (pseudo-polynomial)

  1. Aเพราะใช้ได้เฉพาะ W = 0
  2. BW เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W
  3. Cเพราะอัลกอริทึมเป็นแบบสุ่มและเวลาทำงานแปรผันไปตามอินพุตแต่ละครั้ง
  4. Dเพราะ n มีค่าน้อยเสมอ
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เครือข่ายถนนมี 100,000 ทางแยก แต่ละแห่งเชื่อมกับประมาณ 4 แห่ง การแทนแบบใดเหมาะที่สุด

  1. Aเมทริกซ์ประชิด
  2. Bฮีปทวิภาคของเส้นเชื่อม
  3. Cอาร์เรย์เรียงลำดับเดียวของจุดยอด
  4. Dรายการประชิด
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เพื่อให้ตารางแฮชทำงานถูกต้อง แฮชและความเท่ากันต้องเป็นไปตามกฎใด

  1. Aค่าแฮชต้องเป็นจำนวนเฉพาะ
  2. Bค่าแฮชที่เท่ากันหมายถึงคีย์เท่ากัน
  3. Cคีย์ที่ต่างกันต้องมีค่าแฮชต่างกัน
  4. Dคีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 6|E| = 7
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
16841415714134ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 6 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · Merge sort

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Merge sort เสถียรเมื่อการผสานหยิบจากครึ่งซ้ายก่อนในกรณีที่เท่ากัน ส่วน quicksort แบบทำในที่เดิม heap sort และ selection sort มักไม่เสถียร

คำตอบ

C · Merge sort
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · W เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เวลาทำงานเป็นพหุนามเมื่อเทียบกับค่าของ W แต่เป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับความยาวของมัน (log W บิต) ปัญหา 0/1 knapsack เป็น NP-complete

คำตอบ

B · W เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · รายการประชิด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมทริกซ์ต้องใช้ 1010 ช่อง เกือบทั้งหมดว่าง รายการประชิดเก็บเพียงรายการเส้นเชื่อมราว 400,000 รายการ

คำตอบ

D · รายการประชิด
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · คีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หากสองคีย์ที่เท่ากันแฮชต่างกัน จะถูกเก็บในถังต่างกันและการค้นหาจะล้มเหลว คีย์ที่ไม่เท่ากันยังใช้แฮชร่วมกันได้

คำตอบ

D · คีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

จุดยอดคี่

A, D, E, F → 4
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: F

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): C: 1
2. C (1): B: 7, E: 5, G: 14
3. E (5): D: 19, F: 12, G: 9
4. B (7): D: 15
5. G (9)
6. F (12)
7. D (15)

รอบ 6

F

คำตอบ

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms