โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เวลาทำงานของ LSD radix sort กับจำนวนเต็ม n ตัวที่มี d หลักในฐาน k คือเท่าใด

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(n log n)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ต้องแสดงสองสิ่งใดเพื่อพิสูจน์ว่าปัญหาการตัดสินใจ X เป็น NP-complete

  1. AX ลดรูปไปเป็นปัญหาใน P และ X อยู่ใน NP
  2. BX อยู่ใน NP และปัญหา NP-complete ที่ทราบลดรูปมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
  3. CX ไม่มีอัลกอริทึมพหุนาม และ X ตัดสินได้
  4. DX อยู่ใน P และ X ลดรูปไปเป็น SAT
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โหนดใน binary search tree มีต้นไม้ย่อยขวา in-order successor ของมันอยู่ที่ใด

  1. Aโหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
  2. Bแม่ของมันเสมอ
  3. Cโหนดขวาสุดของต้นไม้ย่อยซ้าย
  4. Dลูกขวาของมันเสมอ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ในอัลกอริทึมต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดของ Kruskal โครงสร้าง union-find ใช้เพื่อ

  1. Aเก็บระยะทางปัจจุบันของแต่ละจุดยอดจากต้นทางระหว่างการค้นหา
  2. Bเลือกจุดยอดเริ่มต้น
  3. Cตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่
  4. Dเรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนัก
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 9
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
31549121013742ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(C) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป C ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: C
d(C) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(d(n + k))

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละรอบจาก d รอบเป็น counting sort ที่ใช้ O(n + k) ดังนั้นเมื่อ d และ k คงที่ ผลรวมจึงเป็นเชิงเส้นตาม n

คำตอบ

A · O(d(n + k))
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · X อยู่ใน NP และปัญหา NP-complete ที่ทราบลดรูปมาเป็น X ในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเป็นสมาชิกของ NP แสดงว่า X ไม่ยากกว่า NP ส่วนการลดรูปจากปัญหา NP-complete ที่ทราบแสดงว่า X ยากอย่างน้อยเท่าทั้ง NP

คำตอบ

B · X อยู่ใน NP และปัญหา NP-complete ที่ทราบลดรูปมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

คีย์ที่ใหญ่กว่าที่อยู่ใกล้โหนดอยู่ในต้นไม้ย่อยขวา และตัวที่เล็กที่สุดคือโหนดซ้ายสุดที่นั่น

คำตอบ

A · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Find บอกว่าปลายทั้งสองอยู่ในส่วนประกอบเดียวกันหรือไม่ ถ้าไม่ ก็เพิ่มเส้นเชื่อมและ union รวมส่วนประกอบ

คำตอบ

C · ตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

จุดยอดคี่

B, D, F, G → 4
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(C) = 18

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 3
B (3): C: 18, D: 7, G: 16
D (7): E: 16, F: 19, G: 11
G (11): E: 13
E (13)
C (18)
F (19)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → C
d(C) = 18

คำตอบ

d(C) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms