โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n − 1) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

n! และ 2ⁿ เปรียบเทียบกันอย่างไรเมื่อ n มาก

  1. An! เป็น O(n²)
  2. Bn! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ
  3. Cเติบโตในอัตราเดียวกัน
  4. D2ⁿ เติบโตเร็วกว่า n!
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์เต็ม (perfect binary tree) ที่มีความสูง h มีกี่โหนด เมื่อความสูงนับเป็นเส้นเชื่อม

  1. A2h + 1
  2. B2h
  3. Ch2
  4. D2h+1 − 1
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

โครงสร้างใดช่วยคำนวณค่าสูงสุดของทุกหน้าต่างขนาด k ในอาร์เรย์ในเวลารวม O(n)

  1. Adeque ที่เก็บดัชนีเรียงตามค่าจากมากไปน้อย
  2. Bmin-heap ที่สร้างใหม่ทุกหน้าต่าง
  3. Cลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวของสมาชิกในหน้าต่าง
  4. Dอาร์เรย์เรียงลำดับที่อัปเดตด้วยการเลื่อน
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 4, 3 จุดยอดดีกรี 5, 4 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
10312111794ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(2ⁿ)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จำนวนการเรียกเพิ่มเป็นสองเท่าในแต่ละระดับและมี n ระดับ ผลรวมจึงประมาณ 2ⁿ เช่นเดียวกับหอคอยฮานอย

คำตอบ

B · O(2ⁿ)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · n! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สำหรับ n ≥ 4 ค่า n! เกิน 2ⁿ และอัตราส่วนเติบโตไม่มีขอบเขต เพราะตัวคูณเพิ่มเติมแต่ละตัวของ n! ใหญ่กว่า 2

คำตอบ

B · n! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · 2h+1 − 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การรวม 1 + 2 + 4 + ... + 2h ได้ 2h+1 − 1 เช่น ความสูง 2 ได้ 7 โหนด

คำตอบ

D · 2h+1 − 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · deque ที่เก็บดัชนีเรียงตามค่าจากมากไปน้อย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ด้านหน้าของ deque คือค่าสูงสุดของหน้าต่างเสมอ แต่ละดัชนีเข้าและออกจาก deque เพียงครั้งเดียว งานจึงเป็นเชิงเส้น

คำตอบ

A · deque ที่เก็บดัชนีเรียงตามค่าจากมากไปน้อย
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 19

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 39 = 2(L + 11) − 2
L = 19

คำตอบ

L = 19

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 13

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 10, C: 3
C (3): E: 4
E (4): F: 13, B: 8
B (8): D: 19
F (13)
D (19)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → F
d(F) = 13

คำตอบ

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms