โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เหตุใดจึงมักละฐานของลอการิทึมใน Big O เช่น O(log n)

  1. Aลอการิทึมทั้งหมดในวิทยาการคอมพิวเตอร์มีฐาน 10 จึงไม่ต้องระบุ
  2. Bลอการิทึมถูกปัดเป็นจำนวนเต็มเสมอ
  3. Cลอการิทึมที่ฐานต่างกันต่างกันเพียงตัวคูณคงที่
  4. Dฐานมีความสำคัญเฉพาะเมื่อ n น้อย
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึม Bellman–Ford ตรวจจับวงจรน้ำหนักติดลบที่ไปถึงได้จากต้นทางอย่างไร

  1. Aรัน Dijkstra สองครั้งแล้วเปรียบเทียบผลระยะทางทั้งสองชุด
  2. Bนับวงจรด้วยการค้นหาในแนวลึก
  3. Cตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดมีน้ำหนักติดลบหรือไม่
  4. Dหลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

นิพจน์ postfix 3 4 + 2 * มีค่าเท่าใด

  1. A14
  2. B11
  3. C24
  4. D10
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

กฎของต้นไม้แดง–ดำรับประกันอะไรเกี่ยวกับความสูงของต้นไม้ที่มี n คีย์

  1. Aความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
  2. Bความสูงไม่เกิน log2 n + 1
  3. Cความสูงเท่ากับ log2 n พอดี
  4. Dความสูงไม่เกิน n / 2
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 3, 4 จุดยอดดีกรี 5 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 34 × deg 5
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDEF

มีวอล์กความยาว 3 จาก E ไป F กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 3
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ลอการิทึมที่ฐานต่างกันต่างกันเพียงตัวคูณคงที่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเปลี่ยนฐานคูณลอการิทึมด้วยค่าคงที่ และ Big O ไม่สนใจตัวคูณคงที่

คำตอบ

C · ลอการิทึมที่ฐานต่างกันต่างกันเพียงตัวคูณคงที่
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระยะทางสั้นที่สุดจริงทั้งหมดพบภายใน V − 1 รอบ ถ้ายังปรับปรุงเส้นเชื่อมใดได้อีก ต้องมีวงจรติดลบ

คำตอบ

D · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · 14

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

push 3 และ 4, + ได้ 7; push 2, * ได้ 7 × 2 = 14

คำตอบ

A · 14
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ทุกเส้นทางมีจำนวนโหนดดำเท่ากัน และโหนดแดงติดกันไม่ได้ เส้นทางที่ยาวที่สุดจึงไม่เกินสองเท่าของที่สั้นที่สุด ได้ความสูง O(log n)

คำตอบ

A · ความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 17

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 29 = 2(L + 7) − 2
L = 17

คำตอบ

L = 17

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 4

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

อีกหนึ่งก้าว

(M³)EF = 2·0 + 1·0 + 1·0 + 0·0 + 4·1 + 0·0 = 4

คำตอบ

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms