โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = T(n/2) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

22n อยู่ใน O(2ⁿ) หรือไม่

  1. Aไม่ เพราะ 22n = 4ⁿ และ 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ เติบโตไม่มีขอบเขต
  2. Bไม่ เพราะ 22n เติบโตช้ากว่า 2ⁿ
  3. Cใช่ เพราะตัวคูณคงที่ในเลขชี้กำลังถูกละไว้เสมอใน Big O
  4. Dใช่ เพราะทั้งสองเป็นเอกซ์โพเนนเชียล
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ AVL รักษาเงื่อนไขสมดุลใดที่ทุกโหนด

  1. Aใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกันพอดี
  2. Bต้นไม้ย่อยทั้งสองของทุกโหนดมีจำนวนโหนดเท่ากันพอดี
  3. Cความสูงของต้นไม้ย่อยซ้ายและขวาต่างกันไม่เกิน 1
  4. Dทุกโหนดถูกระบายสีแดงหรือดำ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เหตุใดจึงใช้ B-tree ในฐานข้อมูลและระบบไฟล์

  1. Aไม่ต้องปรับสมดุลใหม่
  2. Bใช้หน่วยความจำน้อยกว่าอาร์เรย์ใด ๆ ดัชนีทั้งหมดจึงเก็บในหน่วยความจำหลักได้เสมอ
  3. Cตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า
  4. Dเก็บข้อมูลโดยไม่เรียงลำดับ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K7 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K7
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDE

มีวอล์กความยาว 2 จาก E ไป C กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ปัญหาลดลงครึ่งหนึ่งทุกขั้นโดยทำงานคงที่ต่อขั้น จึงมีประมาณ log₂ n ขั้นตอน

คำตอบ

D · O(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ไม่ เพราะ 22n = 4ⁿ และ 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ เติบโตไม่มีขอบเขต

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ค่าคงที่ที่บวกเข้ากับเลขชี้กำลังให้ตัวคูณคงที่ แต่ค่าคงที่ที่คูณเลขชี้กำลังเปลี่ยนฐานและอัตราการเติบโต

คำตอบ

A · ไม่ เพราะ 22n = 4ⁿ และ 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ เติบโตไม่มีขอบเขต
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ความสูงของต้นไม้ย่อยซ้ายและขวาต่างกันไม่เกิน 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตัวประกอบสมดุล (ความสูงซ้าย − ความสูงขวา) ต้องเป็น −1, 0 หรือ 1 การหมุนคืนสมดุลหลังการแทรกและการลบ

คำตอบ

C · ความสูงของต้นไม้ย่อยซ้ายและขวาต่างกันไม่เกิน 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

B-tree เก็บหลายคีย์ต่อโหนด ความสูงจึงน้อยและใช้การอ่านบล็อกไม่กี่ครั้งต่อการค้นหา B+ tree ยังเชื่อมใบเพื่อสแกนช่วง

คำตอบ

C · ตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 360

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

คำตอบ

H = 360
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 1

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)EC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

คำตอบ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms