โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของอัลกอริทึม Bellman–Ford บนกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อมคือเท่าใด

  1. AO(E log V)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เส้นทางง่ายที่สั้นที่สุดหาได้ในเวลาพหุนาม สิ่งใดที่ทราบเกี่ยวกับการหาเส้นทางง่ายที่ยาวที่สุดระหว่างสองจุดยอดในกราฟทั่วไป

  1. Aแก้ได้ด้วยอัลกอริทึมของ Dijkstra โดยกลับเครื่องหมายน้ำหนัก
  2. Bแก้ได้ใน O(V + E) เสมอ
  3. Cตัดสินไม่ได้
  4. Dเป็น NP-hard
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

หาคีย์ที่น้อยที่สุดใน binary search tree ได้อย่างไร

  1. Aเยี่ยมทุกใบและเปรียบเทียบกัน
  2. Bตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย
  3. Cตามลูกขวาจากรากจนไม่มีลูกขวา
  4. Dดูเฉพาะราก
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

โครงสร้าง union-find (เซตไม่เชื่อมกัน) ที่ใช้ union by rank และ path compression มีต้นทุนกระจายต่อการดำเนินการเป็น

  1. AO(n²)
  2. BO(α(n)) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของอัคเคอร์มันน์ ที่แทบเป็นค่าคงที่ในทางปฏิบัติ
  3. CO(n)
  4. DO(log n) พอดี
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 18 จุดยอดและ 23 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 18|E| = 23
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
5128121049326ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 6 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(V × E)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละรอบจาก V − 1 รอบผ่อนคลายเส้นเชื่อมทั้ง E เส้น ได้ O(VE) แลกกับการรองรับน้ำหนักเส้นเชื่อมติดลบ

คำตอบ

D · O(V × E)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · เป็น NP-hard

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เส้นทางง่ายที่ยาวที่สุดที่ยาว V − 1 คือเส้นทางแฮมิลตัน ซึ่งเป็นปัญหา NP-complete แต่บนกราฟมีทิศทางแบบไม่มีวงจรแก้ได้ในเวลาเชิงเส้น

คำตอบ

D · เป็น NP-hard
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดซ้ายสุดไม่มีคีย์ที่เล็กกว่าในต้นไม้ จึงเป็นค่าต่ำสุด ต้นทุนแปรผันตามความสูง

คำตอบ

B · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · O(α(n)) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของอัคเคอร์มันน์ ที่แทบเป็นค่าคงที่ในทางปฏิบัติ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อใช้ทั้งสองการปรับปรุง การดำเนินการใช้เวลา O(α(n)) แบบกระจายต้นทุน และ α(n) ≤ 4 สำหรับ n ที่เป็นจริงทุกขนาด

คำตอบ

B · O(α(n)) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของอัคเคอร์มันน์ ที่แทบเป็นค่าคงที่ในทางปฏิบัติ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 6

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

18 − 1 = 17

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 23 − 17 = 6

คำตอบ

k = 6
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: F

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 5, C: 12
2. B (5): G: 8
3. G (8): C: 10, E: 14
4. C (10)
5. E (14): D: 24, F: 23
6. F (23)
7. D (24)

รอบ 6

F

คำตอบ

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms