โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เหตุใดจึงมักละฐานของลอการิทึมใน Big O เช่น O(log n)

  1. Aลอการิทึมทั้งหมดในวิทยาการคอมพิวเตอร์มีฐาน 10 จึงไม่ต้องระบุ
  2. Bลอการิทึมที่ฐานต่างกันต่างกันเพียงตัวคูณคงที่
  3. Cลอการิทึมถูกปัดเป็นจำนวนเต็มเสมอ
  4. Dฐานมีความสำคัญเฉพาะเมื่อ n น้อย
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เส้นทางง่ายที่สั้นที่สุดหาได้ในเวลาพหุนาม สิ่งใดที่ทราบเกี่ยวกับการหาเส้นทางง่ายที่ยาวที่สุดระหว่างสองจุดยอดในกราฟทั่วไป

  1. Aแก้ได้ด้วยอัลกอริทึมของ Dijkstra โดยกลับเครื่องหมายน้ำหนัก
  2. Bแก้ได้ใน O(V + E) เสมอ
  3. Cตัดสินไม่ได้
  4. Dเป็น NP-hard
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

extract-min ใน min-heap ทวิภาคทำงานอย่างไร

  1. Aย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)
  2. Bลบรากและเลื่อนสมาชิกทั้งหมดไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง
  3. Cค้นหาใบทั้งหมดเพื่อหาค่าต่ำสุดใหม่
  4. Dลบสมาชิกสุดท้ายของอาร์เรย์
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ข้อใดเกี่ยวกับ heapsort ถูกต้อง

  1. Aเรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร
  2. Bต้องใช้ binary search tree เป็นที่เก็บเพิ่มเติม จึงใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)
  3. Cทำงานใน O(n) กับอินพุตใด ๆ
  4. Dเสถียรและต้องใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 2 จุดยอดดีกรี 3, 4 จุดยอดดีกรี 4, 2 จุดยอดดีกรี 5 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

2 × deg 34 × deg 42 × deg 5
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDEF

มีวอล์กปิดความยาว 3 ที่เริ่มและจบที่ E กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 3
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ลอการิทึมที่ฐานต่างกันต่างกันเพียงตัวคูณคงที่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเปลี่ยนฐานคูณลอการิทึมด้วยค่าคงที่ และ Big O ไม่สนใจตัวคูณคงที่

คำตอบ

B · ลอการิทึมที่ฐานต่างกันต่างกันเพียงตัวคูณคงที่
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · เป็น NP-hard

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เส้นทางง่ายที่ยาวที่สุดที่ยาว V − 1 คือเส้นทางแฮมิลตัน ซึ่งเป็นปัญหา NP-complete แต่บนกราฟมีทิศทางแบบไม่มีวงจรแก้ได้ในเวลาเชิงเส้น

คำตอบ

D · เป็น NP-hard
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สมาชิกสุดท้ายเติมช่องว่างที่ราก และสลับกับลูกที่เล็กกว่าจนคุณสมบัติฮีปเป็นจริง ใช้ O(log n)

คำตอบ

A · ย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · เรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Heapsort สร้าง max-heap และดึงค่าสูงสุดออก n ครั้งภายในอาร์เรย์เดียวกัน การสลับระยะไกลอาจจัดเรียงคีย์ที่เท่ากันใหม่

คำตอบ

A · เรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 18

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

คำตอบ

L = 18

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 2

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

อีกหนึ่งก้าว

(M³)EE = 1·0 + 0·1 + 1·0 + 1·1 + 3·0 + 1·1 = 2

คำตอบ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms