โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาในกรณีเลวร้ายที่สุดของ quicksort คือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

Insertion sort ทำงานใน O(n) บนอินพุตที่เรียงแล้ว สิ่งนี้ขัดกับขอบเขตล่าง Ω(n log n) ของการเรียงแบบเปรียบเทียบหรือไม่

  1. Aขัด แต่เฉพาะอาร์เรย์ที่สั้นกว่า 100
  2. Bขัด ดังนั้นขอบเขตล่างจึงผิด
  3. Cไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต
  4. Dไม่ขัด เพราะ insertion sort ไม่ใช่การเรียงแบบเปรียบเทียบ
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

รายการประชิดใช้หน่วยความจำเท่าใดสำหรับกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อม

  1. AO(V²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E²)
  4. DO(V + E)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เหตุใดจึงลบสมาชิกออกจาก Bloom filter มาตรฐานโดยเพียงล้างบิตของมันไม่ได้

  1. ABloom filter เก็บสมาชิกเต็มรูป ซึ่งเมื่อถูกแฮชแล้วหาไม่พบอีก
  2. Bบิตใน Bloom filter เปลี่ยนไม่ได้หลังสร้าง
  3. Cบิตเหล่านั้นอาจเป็นของสมาชิกอื่นด้วย ซึ่งจะทำให้เกิดผลลบเท็จ
  4. Dการลบจะเพิ่มอัตราผลบวกเท็จเป็น 100%
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K8 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K8
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
1556101511213ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(D) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป D ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: D
d(D) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อเลือกตัวหลักไม่ดีติดต่อกัน (เช่น อินพุตที่เรียงแล้วและเลือกตัวแรกเป็นตัวหลัก) การแบ่งส่วนจะไม่สมดุล ได้ O(n²) ส่วนกรณีเฉลี่ยคือ O(n log n)

คำตอบ

A · O(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ขอบเขตนี้บอกว่าการเรียงแบบเปรียบเทียบทุกชนิดต้องใช้ประมาณ n log n การเปรียบเทียบกับอินพุตบางแบบขนาด n อินพุตพิเศษอาจเร็วกว่ามาก

คำตอบ

C · ไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(V + E)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละจุดยอดมีรายการ และแต่ละเส้นเชื่อมปรากฏหนึ่งครั้ง (มีทิศทาง) หรือสองครั้ง (ไม่มีทิศทาง) ได้ O(V + E)

คำตอบ

D · O(V + E)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · บิตเหล่านั้นอาจเป็นของสมาชิกอื่นด้วย ซึ่งจะทำให้เกิดผลลบเท็จ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การล้างบิตที่ใช้ร่วมกันจะทำให้สมาชิกอื่นดูเหมือนไม่อยู่ counting Bloom filter เก็บตัวนับแทนบิตเพื่อให้ลบได้

คำตอบ

C · บิตเหล่านั้นอาจเป็นของสมาชิกอื่นด้วย ซึ่งจะทำให้เกิดผลลบเท็จ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 2520

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

คำตอบ

H = 2520
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(D) = 21

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 15, C: 5
C (5): B: 11
B (11): D: 21, E: 24
D (21): F: 32
E (24): F: 26
F (26)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → B → D
d(D) = 21

คำตอบ

d(D) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms