โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาเฉลี่ยแบบกระจายต้นทุน (amortised) ของการต่อท้ายอาร์เรย์พลวัตที่เพิ่มความจุเป็นสองเท่าเมื่อเต็มคือเท่าใด

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ความซับซ้อนเชิงเวลาของการสร้างฮีปไบนารีจากสมาชิก n ตัวที่ไม่เรียงลำดับด้วยวิธีล่างขึ้นบนคือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ทวิภาคมีราก 1 ลูกซ้าย 2 ลูกขวา 3 โหนด 2 มีลูก 4 (ซ้าย) และ 5 (ขวา) การท่องแบบ postorder คืออะไร

  1. A4 5 2 3 1
  2. B5 4 3 2 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

สำหรับแต่ละสมาชิกของอาร์เรย์ คุณต้องการสมาชิกที่ใหญ่กว่าถัดไปทางขวา ในเวลารวม O(n) โครงสร้างใดช่วยได้

  1. Aสแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ
  2. Bbinary search tree ที่สร้างใหม่สำหรับแต่ละสมาชิก
  3. Cคิวที่เก็บทุกคู่ของสมาชิก
  4. Dตารางแฮชของสมาชิกทั้งหมด
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 7
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
5978291152ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคัดลอกสมาชิกทั้งหมดเกิดขึ้นเฉพาะที่เลขกำลังสอง เมื่อกระจายต้นทุนตลอดทุกการต่อท้าย ค่าเฉลี่ยต่อหนึ่งครั้งจึงคงที่

คำตอบ

B · O(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การรวมต้นทุนการเลื่อนลงตามแต่ละระดับให้อนุกรมลู่เข้า การสร้างฮีปจึงทำงานในเวลาเชิงเส้น

คำตอบ

B · O(n)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · 4 5 2 3 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Postorder ประมวลผล 4 และ 5 ก่อน 2 แล้ว 3 และสุดท้ายราก 1

คำตอบ

A · 4 5 2 3 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · สแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สแกนจากซ้ายไปขวา pop ทุกสมาชิกบนสแตกที่เล็กกว่าตัวปัจจุบัน (ตัวปัจจุบันคือคำตอบของพวกมัน) แล้ว push ตัวปัจจุบัน แต่ละสมาชิกเคลื่อนไม่เกินสองครั้ง

คำตอบ

A · สแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 1

จุดยอดคี่

A, B, C, E, F, G → 6
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 14

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 5, C: 9
B (5): D: 13, E: 7
E (7): F: 22
C (9)
D (13): F: 14
F (14)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → D → F
d(F) = 14

คำตอบ

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms