โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาเฉลี่ยแบบกระจายต้นทุน (amortised) ของการต่อท้ายอาร์เรย์พลวัตที่เพิ่มความจุเป็นสองเท่าเมื่อเต็มคือเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาพนักงานขายเดินทางถูกจัดประเภทอย่างไร

  1. Aอยู่ใน P เพราะอัลกอริทึมของ Dijkstra แก้ได้โดยเยี่ยมชมทุกเมืองหนึ่งครั้ง
  2. Bแบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
  3. Cแบบการตัดสินใจอยู่ใน P แต่แบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-complete
  4. Dตัดสินไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เครือข่ายถนนมี 100,000 ทางแยก แต่ละแห่งเชื่อมกับประมาณ 4 แห่ง การแทนแบบใดเหมาะที่สุด

  1. Aรายการประชิด
  2. Bอาร์เรย์เรียงลำดับเดียวของจุดยอด
  3. Cเมทริกซ์ประชิด
  4. Dฮีปทวิภาคของเส้นเชื่อม
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คุณต้องเก็บค่าที่น้อยที่สุด k ตัวจากสตรีมของตัวเลข n ตัวโดยใช้หน่วยความจำ O(k) แนวทางใดทำงานใน O(n log k)

  1. Aคิว FIFO ของ k ค่าล่าสุด
  2. Bอาร์เรย์เรียงลำดับของค่าทั้ง n
  3. Cmin-heap ที่เก็บค่าทั้ง n ตัว แล้วดึงค่าที่น้อยที่สุด k ตัวออกมาตอนท้าย
  4. Dmax-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K5 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K5
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
9393751014ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคัดลอกสมาชิกทั้งหมดเกิดขึ้นเฉพาะที่เลขกำลังสอง เมื่อกระจายต้นทุนตลอดทุกการต่อท้าย ค่าเฉลี่ยต่อหนึ่งครั้งจึงคงที่

คำตอบ

B · O(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

"มีเส้นทางที่ยาวไม่เกิน k หรือไม่" เป็น NP-complete การหาเส้นทางที่สั้นที่สุดเป็น NP-hard เพราะยากอย่างน้อยเท่ากัน

คำตอบ

B · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · รายการประชิด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมทริกซ์ต้องใช้ 1010 ช่อง เกือบทั้งหมดว่าง รายการประชิดเก็บเพียงรายการเส้นเชื่อมราว 400,000 รายการ

คำตอบ

A · รายการประชิด
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

รากของ max-heap คือค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เก็บไว้ ค่าใหม่ที่เล็กกว่าแทนที่มันใน O(log k) ฮีปจึงเก็บ k ค่าที่น้อยที่สุดจนถึงขณะนั้นเสมอ

คำตอบ

D · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 12

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

คำตอบ

H = 12
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 22

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 9, C: 3
C (3): E: 10
B (9): D: 12
E (10)
D (12): F: 22
F (22)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → D → F
d(F) = 22

คำตอบ

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms