โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = T(n − 1) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาความสอดคล้องข้อใดต่อไปนี้ทราบว่าแก้ได้ในเวลาพหุนาม

  1. Aความสอดคล้องของวงจร
  2. B3-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลสามตัวพอดี
  3. CSAT ทั่วไปบนสูตรรูปแบบนอร์มัลเชิงเชื่อม
  4. D2-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลไม่เกินสองตัว
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เครือข่ายถนนมี 100,000 ทางแยก แต่ละแห่งเชื่อมกับประมาณ 4 แห่ง การแทนแบบใดเหมาะที่สุด

  1. Aรายการประชิด
  2. Bเมทริกซ์ประชิด
  3. Cอาร์เรย์เรียงลำดับเดียวของจุดยอด
  4. Dฮีปทวิภาคของเส้นเชื่อม
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

โครงสร้างใดช่วยคำนวณค่าสูงสุดของทุกหน้าต่างขนาด k ในอาร์เรย์ในเวลารวม O(n)

  1. Aอาร์เรย์เรียงลำดับที่อัปเดตด้วยการเลื่อน
  2. Bdeque ที่เก็บดัชนีเรียงตามค่าจากมากไปน้อย
  3. Cลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวของสมาชิกในหน้าต่าง
  4. Dmin-heap ที่สร้างใหม่ทุกหน้าต่าง
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K6 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K6
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
15433131381337ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

มี n ระดับ แต่ละระดับทำงานคงที่ เช่น การรวมสมาชิกของอาร์เรย์แบบเรียกซ้ำ

คำตอบ

D · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · 2-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลไม่เกินสองตัว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

2-SAT อยู่ใน P (เวลาเชิงเส้นผ่านส่วนประกอบเชื่อมโยงเข้มแข็ง) ส่วน 3-SAT เป็น NP-complete

คำตอบ

D · 2-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลไม่เกินสองตัว
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · รายการประชิด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมทริกซ์ต้องใช้ 1010 ช่อง เกือบทั้งหมดว่าง รายการประชิดเก็บเพียงรายการเส้นเชื่อมราว 400,000 รายการ

คำตอบ

A · รายการประชิด
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · deque ที่เก็บดัชนีเรียงตามค่าจากมากไปน้อย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ด้านหน้าของ deque คือค่าสูงสุดของหน้าต่างเสมอ แต่ละดัชนีเข้าและออกจาก deque เพียงครั้งเดียว งานจึงเป็นเชิงเส้น

คำตอบ

B · deque ที่เก็บดัชนีเรียงตามค่าจากมากไปน้อย
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 60

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

คำตอบ

H = 60
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 15

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 15, C: 4
C (4): E: 7, G: 7
E (7): D: 20, F: 15
G (7)
B (15): D: 18
F (15)
D (18)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → F
d(F) = 15

คำตอบ

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms