โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การที่ปัญหามีโครงสร้างย่อยเหมาะสมที่สุด (optimal substructure) หมายความว่าอย่างไร

  1. Aปัญหาแก้ได้ในเวลาคงที่
  2. Bปัญหามีคำตอบที่เหมาะสมที่สุดเพียงคำตอบเดียว ซึ่งทุกปัญหาย่อยใช้ร่วมกัน
  3. Cคำตอบที่เหมาะสมที่สุดสร้างได้จากคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาย่อย
  4. Dทุกปัญหาย่อยมีขนาดเท่ากัน
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับสัญกรณ์ little-o ถูกต้อง

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)
  3. C2n = o(n) เพราะ 2n เติบโตช้า
  4. Dn = o(n) เพราะทุกฟังก์ชันเป็น little-o ของตัวมันเอง
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

บัฟเฟอร์วงกลม (circular buffer หรือ ring buffer) มักใช้สร้าง

  1. Aต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาค
  2. Bฟังก์ชันแฮช
  3. Cคิวขนาดคงที่
  4. Dการท่องกราฟ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เหตุใดจึงใช้ B-tree ในฐานข้อมูลและระบบไฟล์

  1. Aตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า
  2. Bไม่ต้องปรับสมดุลใหม่
  3. Cเก็บข้อมูลโดยไม่เรียงลำดับ
  4. Dใช้หน่วยความจำน้อยกว่าอาร์เรย์ใด ๆ ดัชนีทั้งหมดจึงเก็บในหน่วยความจำหลักได้เสมอ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K6 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K6
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
18810452201431615ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 11
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · คำตอบที่เหมาะสมที่สุดสร้างได้จากคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาย่อย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โครงสร้างย่อยเหมาะสมที่สุดจำเป็นสำหรับทั้งอัลกอริทึมละโมบและการโปรแกรมพลวัตเพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง

คำตอบ

C · คำตอบที่เหมาะสมที่สุดสร้างได้จากคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาย่อย
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

f = o(g) หมายความว่า f(n) / g(n) เข้าใกล้ 0 โดย n / n² เข้าใกล้ 0 แต่ n / n = 1 ไม่เข้าใกล้ 0

คำตอบ

B · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · คิวขนาดคงที่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Ring buffer ใช้ดัชนีหัวและท้ายที่วนกลับ ให้ enqueue และ dequeue ใน O(1) ด้วยหน่วยความจำคงที่

คำตอบ

C · คิวขนาดคงที่
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

B-tree เก็บหลายคีย์ต่อโหนด ความสูงจึงน้อยและใช้การอ่านบล็อกไม่กี่ครั้งต่อการค้นหา B+ tree ยังเชื่อมใบเพื่อสแกนช่วง

คำตอบ

A · ตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 60

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

คำตอบ

H = 60
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 42

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

DE (2): เลือก
GC (3): เลือก
BD (4): เลือก
CE (5): เลือก
AC (8): เลือก
BC (10): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
GB (14): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
GE (15): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
GD (16): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
AB (18): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
EF (20): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 2 + 3 + 4 + 5 + 8 + 20 = 42

คำตอบ

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms