โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ฟังก์ชันหนึ่งรันลูป n รอบ แล้วรันอีกลูป n รอบแยกต่างหาก ความซับซ้อนเชิงเวลาของมันคือเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

นิยามใดของคลาส P ถูกต้อง

  1. Aปัญหาที่ต้องใช้เวลาเอกซ์โพเนนเชียลบนคอมพิวเตอร์ทุกเครื่อง
  2. Bปัญหาที่แก้แบบขนานได้
  3. Cปัญหาที่ตรวจคำตอบได้แต่ไม่เคยหาคำตอบได้ในเวลาพหุนาม
  4. Dปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

คุณมีการอ้างอิงถึงโหนดกลางลิสต์ ในลิสต์ชนิดใดลบมันได้ใน O(1)

  1. Aอาร์เรย์เรียงลำดับ
  2. Bลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
  3. Cอาร์เรย์พลวัต
  4. Dลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยว
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

Fenwick tree (binary indexed tree) บนอาร์เรย์ที่มีตัวเลข n ตัว รองรับการดำเนินการใดใน O(log n)

  1. Aการเรียงอาร์เรย์และการค้นหาแบบทวิภาค
  2. Bคำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
  3. Cการหามัธยฐานใน O(1)
  4. Dการแทรกสมาชิกที่ตำแหน่งใดก็ได้
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K5 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K5
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDEF

มีวอล์กความยาว 2 จาก B ไป D กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

n + n = 2n และตัดตัวคูณคงที่ทิ้ง ฟังก์ชันนี้จึงเป็น O(n)

คำตอบ

A · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

P ประกอบด้วยปัญหาการตัดสินใจที่มีอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม เช่น การตรวจว่ากราฟเชื่อมต่อกันหรือไม่

คำตอบ

D · ปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · ลิงก์ลิสต์สองทิศทาง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดแบบสองทิศทางรู้โหนดก่อนหน้าของตน จึงเชื่อมใหม่ระหว่าง prev และ next ได้โดยตรง ลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวต้องค้นหาโหนดก่อนหน้า

คำตอบ

B · ลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Fenwick tree เก็บผลรวมบางส่วนของช่วงที่กำหนดโดยบิตต่ำของแต่ละดัชนี ทั้งผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตจุดจึงใช้ O(log n)

คำตอบ

B · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 12

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

คำตอบ

H = 12
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 1

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)BD = 1·0 + 0·1 + 0·0 + 1·0 + 1·1 + 0·1 = 1

คำตอบ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms