โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

quicksort ใช้สมาชิกตัวแรกเป็นตัวหลักเสมอ อินพุตแบบใดแสดงพฤติกรรมกรณีเลวร้ายที่สุดของมัน

  1. Aอาร์เรย์ที่เรียงแบบสุ่ม
  2. Bอาร์เรย์ความยาว 2
  3. Cอาร์เรย์ที่สมาชิกทุกตัวต่างกัน
  4. Dอาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ต้นทุนแบบกระจายของการเพิ่มค่าตัวนับฐานสองหนึ่งครั้งคือเท่าใด เมื่อการเพิ่มหนึ่งครั้งอาจพลิกหลายบิต

  1. AO(1) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
  2. BO(n log n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
  3. CO(log n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
  4. DO(n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ AVL รักษาเงื่อนไขสมดุลใดที่ทุกโหนด

  1. Aความสูงของต้นไม้ย่อยซ้ายและขวาต่างกันไม่เกิน 1
  2. Bต้นไม้ย่อยทั้งสองของทุกโหนดมีจำนวนโหนดเท่ากันพอดี
  3. Cทุกโหนดถูกระบายสีแดงหรือดำ
  4. Dใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกันพอดี
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ในบัฟเฟอร์วงกลม front == rear อาจหมายถึงว่างหรือเต็ม วิธีทั่วไปในการแยกสองกรณีคืออะไร

  1. Aทำให้ขนาดบัฟเฟอร์เป็นเลขกำลังสอง
  2. Bเก็บ front และ rear ในตัวแปรเดียวกัน
  3. Cล้างบัฟเฟอร์ทุกครั้งที่ front เท่ากับ rear ดังนั้นสถานะจึงเป็นว่าง
  4. Dเก็บจำนวนสมาชิกแยกต่างหาก หรือเว้นหนึ่งช่องไว้เสมอ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K5 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K5
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
15111115121311111111ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · อาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

บนอินพุตที่เรียงแล้ว ตัวหลักเป็นค่าต่ำสุดเสมอ ฝั่งหนึ่งว่างและอีกฝั่งมี n − 1 ตัว ได้ O(n²)

คำตอบ

D · อาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(1) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตลอดการเพิ่ม n ครั้ง บิต i พลิกประมาณ n / 2ⁱ ครั้ง ผลรวมจึงน้อยกว่า 2n การพลิก เฉลี่ย O(1) ต่อครั้ง

คำตอบ

A · O(1) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ความสูงของต้นไม้ย่อยซ้ายและขวาต่างกันไม่เกิน 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตัวประกอบสมดุล (ความสูงซ้าย − ความสูงขวา) ต้องเป็น −1, 0 หรือ 1 การหมุนคืนสมดุลหลังการแทรกและการลบ

คำตอบ

A · ความสูงของต้นไม้ย่อยซ้ายและขวาต่างกันไม่เกิน 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · เก็บจำนวนสมาชิกแยกต่างหาก หรือเว้นหนึ่งช่องไว้เสมอ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อมีตัวนับ ว่างคือ count = 0 และเต็มคือ count = ความจุ เมื่อเว้นหนึ่งช่อง เต็มนิยามเป็น (rear + 1) mod n == front

คำตอบ

D · เก็บจำนวนสมาชิกแยกต่างหาก หรือเว้นหนึ่งช่องไว้เสมอ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 12

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

คำตอบ

H = 12
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 24

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 1, C: 5
B (1): D: 12, G: 12
C (5): E: 16
D (12): F: 24
G (12)
E (16)
F (24)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → D → F
d(F) = 24

คำตอบ

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms