โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

quicksort ใช้สมาชิกตัวแรกเป็นตัวหลักเสมอ อินพุตแบบใดแสดงพฤติกรรมกรณีเลวร้ายที่สุดของมัน

  1. Aอาร์เรย์ความยาว 2
  2. Bอาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว
  3. Cอาร์เรย์ที่เรียงแบบสุ่ม
  4. Dอาร์เรย์ที่สมาชิกทุกตัวต่างกัน
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เพื่อแสดงว่าปัญหาใหม่ X เป็น NP-hard คุณต้องทำอะไร

  1. Aแสดงว่า X ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม
  2. Bลดรูป X ไปเป็นปัญหา NP-hard ที่ทราบในเวลาพหุนาม
  3. Cแสดงว่า X ไม่มีอัลกอริทึมพหุนามสำหรับอินพุตเล็ก
  4. Dลดรูปปัญหา NP-hard ที่ทราบมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

คุณมีการอ้างอิงถึงโหนดกลางลิสต์ ในลิสต์ชนิดใดลบมันได้ใน O(1)

  1. Aลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยว
  2. Bอาร์เรย์พลวัต
  3. Cอาร์เรย์เรียงลำดับ
  4. Dลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คีย์ 5, 3, 8, 1 ถูกแทรกตามลำดับนี้ลงใน min-heap ทวิภาคแบบอาร์เรย์ที่ว่าง อาร์เรย์สุดท้ายคืออะไร

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 6
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
4110595933ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 4 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · อาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

บนอินพุตที่เรียงแล้ว ตัวหลักเป็นค่าต่ำสุดเสมอ ฝั่งหนึ่งว่างและอีกฝั่งมี n − 1 ตัว ได้ O(n²)

คำตอบ

B · อาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ลดรูปปัญหา NP-hard ที่ทราบมาเป็น X ในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ถ้าปัญหายากที่ทราบแปลงเป็น X ได้อย่างมีประสิทธิภาพ อัลกอริทึมเร็วสำหรับ X ก็จะแก้ปัญหาที่ทราบได้ด้วย

คำตอบ

D · ลดรูปปัญหา NP-hard ที่ทราบมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · ลิงก์ลิสต์สองทิศทาง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดแบบสองทิศทางรู้โหนดก่อนหน้าของตน จึงเชื่อมใหม่ระหว่าง prev และ next ได้โดยตรง ลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวต้องค้นหาโหนดก่อนหน้า

คำตอบ

D · ลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · [1, 3, 8, 5]

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หลัง 5, 3, 8 อาร์เรย์เป็น [3, 5, 8] 1 ไปอยู่ดัชนี 3 สลับกับแม่ 5 แล้วสลับกับ 3 ได้ [1, 3, 8, 5]

คำตอบ

B · [1, 3, 8, 5]
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

จุดยอดคี่

B, C, D, E → 4
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: G

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 4
2. B (4): C: 5, D: 14, G: 7
3. C (5): E: 10
4. G (7)
5. E (10): F: 19
6. D (14)
7. F (19)

รอบ 4

G

คำตอบ

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms