โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เวลาทำงานของ LSD radix sort กับจำนวนเต็ม n ตัวที่มี d หลักในฐาน k คือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

โดยใช้ทฤษฎีบทหลัก T(n) = 8T(n/2) + O(n²) มีผลเฉลยเป็น

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n² log n)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เมทริกซ์ประชิด (adjacency matrix) ของกราฟที่มี V จุดยอดใช้หน่วยความจำเท่าใด

  1. AO(E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V²)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

radix tree (compressed trie) ปรับปรุง trie ธรรมดาอย่างไร

  1. Aรวมโซ่ของโหนดที่มีลูกตัวเดียวเป็นเส้นเชื่อมเดียวที่ติดป้ายด้วยสตริง
  2. Bเก็บเฉพาะตัวอักษรแรกของแต่ละคำ
  3. Cเก็บแต่ละคำไว้ในตารางแฮชที่ราก แทนที่จะเก็บในโหนดแยกกัน
  4. Dเรียงลูกของแต่ละโหนดตามความถี่
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 9
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
14621910816ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด D ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 5

เริ่มต้น: Dk = 5
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม EF
  8. 8เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(d(n + k))

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละรอบจาก d รอบเป็น counting sort ที่ใช้ O(n + k) ดังนั้นเมื่อ d และ k คงที่ ผลรวมจึงเป็นเชิงเส้นตาม n

คำตอบ

C · O(d(n + k))
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · Θ(n³)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

log₂ 8 = 3 และ n² เติบโตช้ากว่า n³ ใบจึงครอบงำ: Θ(n³)

คำตอบ

A · Θ(n³)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(V²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมทริกซ์ประชิดเก็บ V × V ช่อง มีประสิทธิภาพสำหรับกราฟหนาแน่น ส่วนรายการประชิดใช้ O(V + E) ดีกว่าสำหรับกราฟเบาบาง

คำตอบ

D · O(V²)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · รวมโซ่ของโหนดที่มีลูกตัวเดียวเป็นเส้นเชื่อมเดียวที่ติดป้ายด้วยสตริง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การยุบเส้นทางที่ไม่แตกกิ่งลดจำนวนโหนดและหน่วยความจำที่ใช้ โดยยังรักษาการค้นหาด้วยคำนำหน้า

คำตอบ

A · รวมโซ่ของโหนดที่มีลูกตัวเดียวเป็นเส้นเชื่อมเดียวที่ติดป้ายด้วยสตริง
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

จุดยอดคี่

C, G → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม EF

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. BD (1)
2. BC (2)
3. AC (6)
4. CE (9)
5. EF (8)

เส้นเชื่อมหมายเลข 5

EF

คำตอบ

เส้นเชื่อม EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms