โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) คือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

การคูณแบบ Karatsuba ตรงตาม T(n) = 3T(n/2) + O(n) ผลเฉลยคืออะไร

  1. AΘ(nlog₂ 3) ประมาณ n1.585
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n3)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ความสูงในกรณีเลวร้ายที่สุดของ binary search tree ที่มี n โหนดคือเท่าใด ถ้าแทรกคีย์ตามลำดับที่เรียงแล้ว

  1. A1
  2. Bn (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)
  3. Clog₂ n
  4. D√n
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

อาร์เรย์พลวัตเพิ่มเป็นสองเท่าเมื่อเต็ม เหตุใดหลายการสร้างจึงหดมันเมื่อเหลือเพียงหนึ่งในสี่เท่านั้น ไม่ใช่ครึ่งหนึ่ง

  1. Aเพราะตัวจัดสรรหน่วยความจำคืนหน่วยความจำได้เฉพาะเป็นหนึ่งในสี่ของบล็อกเท่านั้น
  2. Bเพราะการหดที่ครึ่งหนึ่งทำให้สมาชิกหาย
  3. Cเพื่อหลีกเลี่ยงการปรับขนาดซ้ำเมื่อ push และ pop สลับกันใกล้ขอบเขต
  4. Dเพื่อให้อาร์เรย์เรียงลำดับ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 14 จุดยอดและ 14 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 14|E| = 14
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
201519617137ABCDE

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 5|E| = 7
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ลูปชั้นในทำงานประมาณ log₂ n ครั้งสำหรับแต่ละรอบของลูปชั้นนอก n รอบ ได้ O(n log n)

คำตอบ

D · O(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · Θ(nlog₂ 3) ประมาณ n1.585

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เนื่องจาก log₂ 3 ≈ 1.585 > 1 ใบจึงครอบงำตามทฤษฎีบทหลัก ดีกว่าวิธีคูณแบบโรงเรียน O(n²)

คำตอบ

A · Θ(nlog₂ 3) ประมาณ n1.585
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · n (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การแทรกตามลำดับสร้างต้นไม้เสื่อมที่มีความสูง n ทำให้การค้นหาเป็น O(n) ต้นไม้สมดุลป้องกันเรื่องนี้

คำตอบ

B · n (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · เพื่อหลีกเลี่ยงการปรับขนาดซ้ำเมื่อ push และ pop สลับกันใกล้ขอบเขต

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การหดที่ครึ่งหนึ่งอาจกระตุ้นการปรับขนาดทุกการดำเนินการในลำดับเช่นนั้น ช่องว่างระหว่าง 1/4 กับเต็มรักษาต้นทุนกระจายเป็น O(1)

คำตอบ

C · เพื่อหลีกเลี่ยงการปรับขนาดซ้ำเมื่อ push และ pop สลับกันใกล้ขอบเขต
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 1

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

14 − 1 = 13

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 14 − 13 = 1

คำตอบ

k = 1
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 45

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BD (6): เลือก
BE (7): เลือก
DE (13): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
AC (15): เลือก
CE (17): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 6 + 7 + 15 + 17 = 45

คำตอบ

W = 45

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms