โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n − 1) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ (undecidable) ต่างจากปัญหาที่จัดการไม่ได้ (intractable) อย่างไร

  1. Aทั้งสองหมายถึงปัญหาไม่มีอัลกอริทึมเลย
  2. Bปัญหาที่จัดการไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมใดแก้ได้ ส่วนปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ต้องการเพียงเวลาเอกซ์โพเนนเชียล
  3. Cปัญหาที่ตัดสินไม่ได้อยู่ใน NP ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้อยู่ใน P
  4. Dปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ในคิววงกลมที่เก็บในอาร์เรย์ความจุ n ตำแหน่งถัดจากดัชนี i คำนวณอย่างไร

  1. A(i + 1) mod n
  2. B(i − 1) mod n
  3. Ci + 1
  4. D2i + 1
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เหตุใดฐานข้อมูลจึงมักใช้ B+ tree แทน B-tree ธรรมดาสำหรับดัชนี

  1. AB+ tree เก็บข้อมูลที่รากเท่านั้น
  2. BB+ tree ใช้โหนดภายในแบบทวิภาค ซึ่งลดจำนวนการอ่านดิสก์
  3. CB+ tree ไม่จำเป็นต้องสมดุล
  4. Dระเบียนทั้งหมดอยู่ในใบที่เชื่อมกัน ทำให้สแกนช่วงได้มีประสิทธิภาพ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K7 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K7
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDE

มีวอล์กความยาว 2 จาก C ไป B กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(2ⁿ)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จำนวนการเรียกเพิ่มเป็นสองเท่าในแต่ละระดับและมี n ระดับ ผลรวมจึงประมาณ 2ⁿ เช่นเดียวกับหอคอยฮานอย

คำตอบ

B · O(2ⁿ)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ปัญหาการหยุดไม่มีอัลกอริทึมเลย ส่วนปัญหา NP-hard เช่น TSP แก้ได้ด้วยกำลังเดรัจฉาน เพียงแต่ไม่ได้ในเวลาพหุนามที่ทราบ

คำตอบ

D · ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · (i + 1) mod n

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การดำเนินการ modulo วนดัชนี n − 1 กลับเป็น 0 อาร์เรย์จึงถูกนำกลับมาใช้โดยไม่ต้องเลื่อนสมาชิก

คำตอบ

A · (i + 1) mod n
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · ระเบียนทั้งหมดอยู่ในใบที่เชื่อมกัน ทำให้สแกนช่วงได้มีประสิทธิภาพ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ใน B+ tree โหนดภายในเพียงนำทางการค้นหา และใบเชื่อมกันตามลำดับคีย์ คำถามช่วงจึงหาคีย์แรกแล้วเดินไปตามใบ

คำตอบ

D · ระเบียนทั้งหมดอยู่ในใบที่เชื่อมกัน ทำให้สแกนช่วงได้มีประสิทธิภาพ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 360

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

คำตอบ

H = 360
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 2

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)CB = 1·1 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 = 2

คำตอบ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms