โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ด้วยเหรียญ 1, 3 และ 4 และยอด 6 วิธีละโมบ "หยิบเหรียญใหญ่สุดก่อน" ใช้เหรียญกี่เหรียญเมื่อเทียบกับค่าที่เหมาะสมที่สุด

  1. Aละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 3
  2. Bละโมบใช้ 4 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 3
  3. Cละโมบใช้ 2 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2
  4. Dละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดการค้นหาแบบทวิภาคจึงไม่ให้เวลา O(log n) บนรายการเชื่อมโยงเดี่ยว

  1. Aรายการเชื่อมโยงเรียงลำดับไม่ได้
  2. Bการไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้
  3. Cการค้นหาแบบทวิภาคต้องใช้หน่วยความจำอย่างน้อยสองเท่า
  4. Dการเปรียบเทียบบนโหนดของรายการเชื่อมโยงช้ากว่า
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ใน min-heap ทวิภาคที่เก็บในอาร์เรย์ (ดัชนีเริ่มที่ 0) ลูกของโหนดที่ดัชนี i อยู่ที่

  1. Ai + 1 และ i + 2
  2. B2i และ 2i + 1
  3. Ci/2 และ i/2 + 1
  4. D2i + 1 และ 2i + 2
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ภายใต้การแฮชสม่ำเสมออย่างง่าย เวลาคาดหมายของการค้นหาในตารางแฮชแบบ chaining ที่มี n คีย์และ m ถังคือเท่าใด

  1. AO(log n)
  2. BO(1 + α) เมื่อ α = n / m
  3. CO(n)
  4. DO(m)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K8 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K8
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
799859810913ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

วิธีละโมบหยิบ 4 + 1 + 1 = 3 เหรียญ แต่ 3 + 3 ใช้เพียง 2 วิธีละโมบจึงไม่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบเหรียญนี้ การโปรแกรมพลวัตทำได้

คำตอบ

D · ละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · การไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การค้นหาแบบทวิภาคต้องเข้าถึงสมาชิกตรงกลางใน O(1) บนรายการเชื่อมโยงการเดินไปถึงต้องใช้เวลาเชิงเส้น ผลรวมจึงเป็น O(n)

คำตอบ

B · การไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · 2i + 1 และ 2i + 2

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สำหรับอาร์เรย์ที่เริ่มที่ 0 ลูกซ้ายอยู่ที่ 2i + 1 ลูกขวาที่ 2i + 2 และแม่ที่ ⌊(i − 1)/2⌋

คำตอบ

D · 2i + 1 และ 2i + 2
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · O(1 + α) เมื่อ α = n / m

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคำนวณแฮชมีต้นทุน O(1) และความยาวโซ่คาดหมายคือ α การรักษา α ให้มีขอบเขตด้วยการปรับขนาดจึงได้เวลาคาดหมาย O(1)

คำตอบ

B · O(1 + α) เมื่อ α = n / m
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 2520

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

คำตอบ

H = 2520
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 29

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 7
B (7): C: 16, G: 15
G (15): D: 24, E: 28
C (16): E: 25
D (24): F: 29
E (25)
F (29)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → G → D → F
d(F) = 29

คำตอบ

d(F) = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms