โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = T(n − 1) + O(n) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหา 0/1 knapsack ที่แก้ด้วยการโปรแกรมพลวัตใช้เวลา O(nW) เหตุใดจึงเรียกว่าเวลาแบบกึ่งพหุนาม (pseudo-polynomial)

  1. Aเพราะอัลกอริทึมเป็นแบบสุ่มและเวลาทำงานแปรผันไปตามอินพุตแต่ละครั้ง
  2. Bเพราะ n มีค่าน้อยเสมอ
  3. Cเพราะใช้ได้เฉพาะ W = 0
  4. DW เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เหตุใดฮีปทวิภาคจึงเก็บในอาร์เรย์ได้โดยไม่ต้องใช้ตัวชี้

  1. Aอาร์เรย์เก็บคีย์ให้เรียงลำดับโดยอัตโนมัติ จึงไม่ต้องใช้ตัวชี้
  2. Bฮีปมีสมาชิกไม่เกิน 100 ตัวเสมอ
  3. Cเป็นต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์ ตำแหน่งจึงเป็นไปตามสูตรดัชนีง่าย ๆ
  4. Dคีย์ทั้งหมดในฮีปเท่ากัน
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คีย์ 5, 3, 8, 1 ถูกแทรกตามลำดับนี้ลงใน min-heap ทวิภาคแบบอาร์เรย์ที่ว่าง อาร์เรย์สุดท้ายคืออะไร

  1. A[1, 3, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 12
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
101564114112639ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(n²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

งานรวมได้ประมาณ n² / 2 ซึ่งเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดของ selection sort หรือของ quicksort เมื่อเลือกตัวหลักแย่ที่สุด

คำตอบ

C · O(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · W เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เวลาทำงานเป็นพหุนามเมื่อเทียบกับค่าของ W แต่เป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับความยาวของมัน (log W บิต) ปัญหา 0/1 knapsack เป็น NP-complete

คำตอบ

D · W เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · เป็นต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์ ตำแหน่งจึงเป็นไปตามสูตรดัชนีง่าย ๆ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ความสมบูรณ์หมายความว่าไม่มีช่องว่าง ลูกของดัชนี i จึงอยู่ที่ 2i + 1 และ 2i + 2 เสมอ

คำตอบ

C · เป็นต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์ ตำแหน่งจึงเป็นไปตามสูตรดัชนีง่าย ๆ
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · [1, 3, 8, 5]

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หลัง 5, 3, 8 อาร์เรย์เป็น [3, 5, 8] 1 ไปอยู่ดัชนี 3 สลับกับแม่ 5 แล้วสลับกับ 3 ได้ [1, 3, 8, 5]

คำตอบ

A · [1, 3, 8, 5]
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 18

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 10, C: 15
B (10): D: 14
D (14): E: 28, F: 25, G: 17
C (15): E: 16
E (16): F: 18
G (17)
F (18)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → F
d(F) = 18

คำตอบ

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms