โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n − 1) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เวลาทำงานของอัลกอริทึมของ Dijkstra ที่ใช้ฮีปไบนารีบนกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อมคือเท่าใด

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V³)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เหตุใดการท่องอาร์เรย์จึงเร็วกว่าการท่องลิงก์ลิสต์ที่ยาวเท่ากันมากในทางปฏิบัติ

  1. Aสมาชิกของอาร์เรย์ต่อเนื่องกัน จึงใช้แคชของ CPU ได้ดี
  2. Bการท่องอาร์เรย์เป็น O(1) โดยรวม ส่วนการท่องลิงก์ลิสต์เป็น O(n)
  3. Cอาร์เรย์ใช้คำสั่งน้อยกว่าในการเปรียบเทียบค่า
  4. Dลิงก์ลิสต์เก็บสมาชิกบนดิสก์เสมอ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ต้นไม้แดง–ดำ (red-black tree) ต้องมีคุณสมบัติใด

  1. Aทุกโหนดต้องเป็นสีแดง
  2. Bรากต้องเป็นสีแดง
  3. Cโหนดสีแดงทุกโหนดต้องมีลูกสีแดง โหนดสีแดงจึงต่อเป็นสายไม่ขาดตอนไปจนถึงใบ
  4. Dทุกเส้นทางจากโหนดไปยังใบของลูกหลานมีจำนวนโหนดสีดำเท่ากัน
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 6|E| = 6
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
121528912113ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 3 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(2ⁿ)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จำนวนการเรียกเพิ่มเป็นสองเท่าในแต่ละระดับและมี n ระดับ ผลรวมจึงประมาณ 2ⁿ เช่นเดียวกับหอคอยฮานอย

คำตอบ

C · O(2ⁿ)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O((V + E) log V)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

มี extract-min V ครั้งและ decrease-key ได้ถึง E ครั้ง แต่ละครั้ง O(log V) ฮีปฟีโบนักชีปรับให้ดีขึ้นเป็น O(E + V log V)

คำตอบ

A · O((V + E) log V)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · สมาชิกของอาร์เรย์ต่อเนื่องกัน จึงใช้แคชของ CPU ได้ดี

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หน่วยความจำต่อเนื่องให้ locality of reference ที่ดี ขณะที่โหนดที่เชื่อมกันอาจกระจัดกระจายและทำให้เกิด cache miss มาก

คำตอบ

A · สมาชิกของอาร์เรย์ต่อเนื่องกัน จึงใช้แคชของ CPU ได้ดี
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · ทุกเส้นทางจากโหนดไปยังใบของลูกหลานมีจำนวนโหนดสีดำเท่ากัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

กฎของแดง–ดำ: โหนดเป็นสีแดงหรือดำ รากเป็นสีดำ โหนดสีแดงมีลูกสีดำ และทุกเส้นทางมี black-height เท่ากัน ทำให้ความสูง ≤ 2 log₂(n + 1)

คำตอบ

D · ทุกเส้นทางจากโหนดไปยังใบของลูกหลานมีจำนวนโหนดสีดำเท่ากัน
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

จุดยอดคี่

A, B → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: C

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 12, C: 15
2. B (12): C: 14, D: 20, E: 15
3. C (14)
4. E (15)
5. D (20): F: 31
6. F (31)

รอบ 3

C

คำตอบ

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms