โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของอัลกอริทึมการโปรแกรมพลวัตมาตรฐานสำหรับสายอักขระย่อยร่วมที่ยาวที่สุด (LCS) ของสายอักขระที่ยาว m และ n คือเท่าใด

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(mn)
  4. DO(m + n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึมของ Strassen คูณเมทริกซ์โดยใช้การคูณแบบเรียกซ้ำของบล็อกครึ่งขนาด 7 ครั้งแทนที่จะเป็น 8 ครั้ง เวลาทำงานของมันคือเท่าใด

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81
  4. DΘ(n² log n)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โครงสร้างข้อมูลใดที่การค้นหาในแนวลึก (DFS) แบบวนซ้ำใช้

  1. Aสแตก
  2. Bฮีป
  3. Cคิว
  4. Dตารางแฮชเท่านั้น
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เหตุใดจึงลบสมาชิกออกจาก Bloom filter มาตรฐานโดยเพียงล้างบิตของมันไม่ได้

  1. Aการลบจะเพิ่มอัตราผลบวกเท็จเป็น 100%
  2. Bบิตเหล่านั้นอาจเป็นของสมาชิกอื่นด้วย ซึ่งจะทำให้เกิดผลลบเท็จ
  3. CBloom filter เก็บสมาชิกเต็มรูป ซึ่งเมื่อถูกแฮชแล้วหาไม่พบอีก
  4. Dบิตใน Bloom filter เปลี่ยนไม่ได้หลังสร้าง
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 15 จุดยอดและ 19 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 15|E| = 19
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
15124231916141ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 5 เส้นที่ถูกข้ามไม่นับ

k = 5
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม DF
  8. 8เส้นเชื่อม EF
  9. 9เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(mn)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตารางมี (m + 1)(n + 1) ช่อง และแต่ละช่องคำนวณใน O(1) จากช่องข้างเคียง

คำตอบ

C · O(mn)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · Θ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อ a = 7 และ b = 2 ค่า nlog₂ 7 ครอบงำงานบวก O(n²) ได้ประมาณ n2.81

คำตอบ

C · Θ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · สแตก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

DFS สำรวจลึกที่สุดเท่าที่ทำได้ โดยใช้สแตกตามธรรมชาติ (หรือสแตกการเรียกของการเรียกซ้ำ) ส่วน BFS ใช้คิว

คำตอบ

A · สแตก
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · บิตเหล่านั้นอาจเป็นของสมาชิกอื่นด้วย ซึ่งจะทำให้เกิดผลลบเท็จ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การล้างบิตที่ใช้ร่วมกันจะทำให้สมาชิกอื่นดูเหมือนไม่อยู่ counting Bloom filter เก็บตัวนับแทนบิตเพื่อให้ลบได้

คำตอบ

B · บิตเหล่านั้นอาจเป็นของสมาชิกอื่นด้วย ซึ่งจะทำให้เกิดผลลบเท็จ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 5

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

15 − 1 = 14

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 19 − 14 = 5

คำตอบ

k = 5
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม EF

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

1. BE (1)
2. BD (2)
3. CE (3)
4. AC (12)
5. EF (14)

เส้นเชื่อมหมายเลข 5

EF

คำตอบ

เส้นเชื่อม EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms