โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เหตุใดรูทีนการเรียงลำดับในไลบรารีจำนวนมากจึงเปลี่ยนไปใช้ insertion sort กับอาร์เรย์ย่อยที่เล็กมาก

  1. AInsertion sort เป็น O(n log n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด
  2. Bอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำจัดการอาร์เรย์ที่เล็กกว่า 10 สมาชิกไม่ได้
  3. CInsertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว
  4. DInsertion sort ใช้หน่วยความจำน้อยกว่าอัลกอริทึมการเรียงลำดับอื่นทุกตัวกับอินพุตใหญ่
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

กฎละโมบ "หยิบสิ่งของตามลำดับมูลค่าต่อน้ำหนัก" ให้คำตอบเหมาะสมที่สุดเสมอในปัญหา knapsack แบบใด

  1. Aไม่ใช่ทั้งสองแบบ
  2. B0/1 knapsack ซึ่งต้องหยิบสิ่งของทั้งชิ้นเสมอ
  3. Cfractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
  4. Dทั้งสองแบบ
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โครงสร้างข้อมูลใดที่การค้นหาในแนวลึก (DFS) แบบวนซ้ำใช้

  1. Aตารางแฮชเท่านั้น
  2. Bฮีป
  3. Cสแตก
  4. Dคิว
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ข้อใดเกี่ยวกับ heapsort ถูกต้อง

  1. Aทำงานใน O(n) กับอินพุตใด ๆ
  2. Bเสถียรและต้องใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)
  3. Cเรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร
  4. Dต้องใช้ binary search tree เป็นที่เก็บเพิ่มเติม จึงใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K8 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K8
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
8144146838ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · Insertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อ n น้อย ลูปง่าย ๆ ของ insertion sort ชนะภาระการเรียกซ้ำของ quicksort หรือ merge sort แม้จะเป็น O(n²)

คำตอบ

C · Insertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อแบ่งสิ่งของได้ การเลือกอัตราส่วนดีที่สุดก่อนเหมาะสมที่สุด ใน 0/1 knapsack สิ่งของอัตราส่วนสูงอาจขวางชุดที่ดีกว่า จึงต้องใช้การโปรแกรมพลวัต

คำตอบ

C · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · สแตก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

DFS สำรวจลึกที่สุดเท่าที่ทำได้ โดยใช้สแตกตามธรรมชาติ (หรือสแตกการเรียกของการเรียกซ้ำ) ส่วน BFS ใช้คิว

คำตอบ

C · สแตก
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · เรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Heapsort สร้าง max-heap และดึงค่าสูงสุดออก n ครั้งภายในอาร์เรย์เดียวกัน การสลับระยะไกลอาจจัดเรียงคีย์ที่เท่ากันใหม่

คำตอบ

C · เรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 2520

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

คำตอบ

H = 2520
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: F

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 8, C: 14
2. B (8): C: 12, E: 16
3. C (12)
4. E (16): D: 22, F: 19
5. F (19)
6. D (22)

รอบ 5

F

คำตอบ

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms