โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมละโมบ (greedy) คือ

  1. Aลองทุกคำตอบที่เป็นไปได้
  2. Bให้คำตอบที่เหมาะสมที่สุดเสมอ
  3. Cใช้การเรียกซ้ำเท่านั้น
  4. Dเลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหา 0/1 knapsack ที่แก้ด้วยการโปรแกรมพลวัตใช้เวลา O(nW) เหตุใดจึงเรียกว่าเวลาแบบกึ่งพหุนาม (pseudo-polynomial)

  1. AW เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W
  2. Bเพราะ n มีค่าน้อยเสมอ
  3. Cเพราะใช้ได้เฉพาะ W = 0
  4. Dเพราะอัลกอริทึมเป็นแบบสุ่มและเวลาทำงานแปรผันไปตามอินพุตแต่ละครั้ง
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นทุนของการแทรกสมาชิกตรงกลางอาร์เรย์ที่มี n สมาชิกคือเท่าใด

  1. AO(n) เพราะสมาชิกหลังจากนั้นต้องเลื่อน
  2. BO(1) เพราะทราบดัชนี
  3. CO(n²) เพราะแต่ละสมาชิกย้าย n ครั้ง
  4. DO(log n) เพราะการค้นหาแบบทวิภาค
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

การกลับลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวในที่เดิมมีต้นทุนด้านเวลาและพื้นที่เพิ่มเติมเท่าใด

  1. Aเวลา O(1) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
  2. Bเวลา O(n log n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
  3. Cเวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(n)
  4. Dเวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K6 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K6
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
3149111010151121ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · เลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

อัลกอริทึมละโมบเร็วและให้ผลเหมาะสมที่สุดในบางปัญหา (เช่น Dijkstra, การเข้ารหัส Huffman) แต่ไม่ใช่โดยทั่วไป (เช่น การทอนเหรียญในระบบเหรียญบางแบบ)

คำตอบ

D · เลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · W เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เวลาทำงานเป็นพหุนามเมื่อเทียบกับค่าของ W แต่เป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับความยาวของมัน (log W บิต) ปัญหา 0/1 knapsack เป็น NP-complete

คำตอบ

A · W เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · O(n) เพราะสมาชิกหลังจากนั้นต้องเลื่อน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สมาชิกทั้งหมดหลังจุดแทรกเลื่อนไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง ซึ่งใช้เวลาแปรผันตาม n

คำตอบ

A · O(n) เพราะสมาชิกหลังจากนั้นต้องเลื่อน
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · เวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเก็บตัวชี้สามตัว (previous, current, next) ทำให้กลับแต่ละลิงก์ในรอบเดียวโดยไม่จัดสรรโหนดใหม่

คำตอบ

D · เวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 60

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

คำตอบ

H = 60
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 25

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): C: 3
C (3): B: 17, G: 14
G (14): D: 16, E: 15
E (15): F: 25
D (16)
B (17)
F (25)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → G → E → F
d(F) = 25

คำตอบ

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms