โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การเรียกซ้ำของ merge sort สำหรับอาร์เรย์ n สมาชิกมีกี่ระดับ

  1. Aประมาณ n / 2
  2. Bประมาณ n
  3. Cประมาณ log₂ n
  4. Dประมาณ √n
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาพนักงานขายเดินทางถูกจัดประเภทอย่างไร

  1. Aอยู่ใน P เพราะอัลกอริทึมของ Dijkstra แก้ได้โดยเยี่ยมชมทุกเมืองหนึ่งครั้ง
  2. Bแบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
  3. Cแบบการตัดสินใจอยู่ใน P แต่แบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-complete
  4. Dตัดสินไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การตรวจว่ามีเส้นเชื่อม (u, v) หรือไม่ด้วยเมทริกซ์ประชิดใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(1)
  2. BO(V)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เหตุใดจึงใช้ B-tree ในฐานข้อมูลและระบบไฟล์

  1. Aไม่ต้องปรับสมดุลใหม่
  2. Bตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า
  3. Cใช้หน่วยความจำน้อยกว่าอาร์เรย์ใด ๆ ดัชนีทั้งหมดจึงเก็บในหน่วยความจำหลักได้เสมอ
  4. Dเก็บข้อมูลโดยไม่เรียงลำดับ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K7 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K7
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
4821311492ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ประมาณ log₂ n

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การแบ่งครึ่งจาก n ลงถึง 1 ใช้ประมาณ log₂ n ระดับ และแต่ละระดับทำงานผสาน O(n) ได้ O(n log n)

คำตอบ

C · ประมาณ log₂ n
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

"มีเส้นทางที่ยาวไม่เกิน k หรือไม่" เป็น NP-complete การหาเส้นทางที่สั้นที่สุดเป็น NP-hard เพราะยากอย่างน้อยเท่ากัน

คำตอบ

B · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ช่องของเมทริกซ์ที่แถว u คอลัมน์ v บอกทันทีว่ามีเส้นเชื่อมหรือไม่ รายการประชิดอาจต้องสแกนข้างเคียงของ u

คำตอบ

A · O(1)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · ตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

B-tree เก็บหลายคีย์ต่อโหนด ความสูงจึงน้อยและใช้การอ่านบล็อกไม่กี่ครั้งต่อการค้นหา B+ tree ยังเชื่อมใบเพื่อสแกนช่วง

คำตอบ

B · ตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 360

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

คำตอบ

H = 360
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 6

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): C: 4
C (4): B: 12, E: 5, G: 13
E (5): D: 8, F: 6, G: 7
F (6): D: 7
D (7): B: 9
G (7)
B (9)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → F
d(F) = 6

คำตอบ

d(F) = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms