โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ในอาร์เรย์ที่เรียงแล้ว คุณหาสองสมาชิกที่ผลรวมเท่ากับเป้าหมายโดยเลื่อนตัวชี้จากแต่ละปลายเข้าหากัน ความซับซ้อนเชิงเวลาคือเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

กฎละโมบ "หยิบสิ่งของตามลำดับมูลค่าต่อน้ำหนัก" ให้คำตอบเหมาะสมที่สุดเสมอในปัญหา knapsack แบบใด

  1. Afractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
  2. Bทั้งสองแบบ
  3. C0/1 knapsack ซึ่งต้องหยิบสิ่งของทั้งชิ้นเสมอ
  4. Dไม่ใช่ทั้งสองแบบ
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

อัลกอริทึมของ Dijkstra ใช้ชนิดข้อมูลนามธรรมใดเลือกจุดยอดถัดไปที่จะประมวลผล

  1. Aคิว FIFO
  2. Bคิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)
  3. Cสแตก
  4. Dเซตที่ไม่มีลำดับ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ใน BST ที่มีราก 50 ต้นไม้ย่อยซ้าย 30 (ลูก 20, 40) และต้นไม้ย่อยขวา 70 (ลูก 60, 80) ลบรากโดยใช้ in-order successor คีย์ใดกลายเป็นรากใหม่

  1. A40
  2. B80
  3. C70
  4. D60
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 3, 4 จุดยอดดีกรี 4, 4 จุดยอดดีกรี 5, 2 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 34 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
12811131520345ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 9
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ถ้าผลรวมน้อยเกินไปตัวชี้ซ้ายเลื่อนไปขวา ถ้ามากเกินไปตัวชี้ขวาเลื่อนไปซ้าย จึงมีไม่เกิน n ขั้น

คำตอบ

B · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อแบ่งสิ่งของได้ การเลือกอัตราส่วนดีที่สุดก่อนเหมาะสมที่สุด ใน 0/1 knapsack สิ่งของอัตราส่วนสูงอาจขวางชุดที่ดีกว่า จึงต้องใช้การโปรแกรมพลวัต

คำตอบ

A · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · คิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Min-priority queue ซึ่งมักเป็นฮีปทวิภาค คืนจุดยอดที่ยังไม่เยี่ยมที่มีระยะทางน้อยที่สุดได้อย่างมีประสิทธิภาพ

คำตอบ

B · คิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · 60

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวาคือ 60 ดังนั้น 60 แทนที่ 50 และตำแหน่งเดิมของมันถูกลบ ถ้าใช้ predecessor จะได้ 40

คำตอบ

D · 60
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 25

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 49 = 2(L + 13) − 2
L = 25

คำตอบ

L = 25

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 51

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

GB (3): เลือก
GD (4): เลือก
GE (5): เลือก
AC (8): เลือก
BC (11): เลือก
AB (12): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
BD (13): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
CE (15): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
EF (20): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 3 + 4 + 5 + 8 + 11 + 20 = 51

คำตอบ

W = 51

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms