โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมการเรียงลำดับใดเป็นแบบเสถียร (stable)

  1. AMerge sort
  2. BSelection sort (แบบทั่วไป)
  3. CQuicksort (แบบทำในที่เดิมทั่วไป)
  4. DHeap sort
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

การคำนวณจำนวนฟีโบนักชีตัวที่ n ด้วยลูปที่เก็บเพียงสองค่าล่าสุดมีต้นทุนด้านเวลาและพื้นที่เท่าใด

  1. Aเวลา O(2ⁿ) และพื้นที่ O(1)
  2. Bเวลา O(n) และพื้นที่ O(n)
  3. Cเวลา O(log n) และพื้นที่ O(n)
  4. Dเวลา O(n) และพื้นที่ O(1)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โหนดใน binary search tree มีต้นไม้ย่อยขวา in-order successor ของมันอยู่ที่ใด

  1. Aโหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
  2. Bโหนดขวาสุดของต้นไม้ย่อยซ้าย
  3. Cลูกขวาของมันเสมอ
  4. Dแม่ของมันเสมอ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คุณต้องเก็บค่าที่น้อยที่สุด k ตัวจากสตรีมของตัวเลข n ตัวโดยใช้หน่วยความจำ O(k) แนวทางใดทำงานใน O(n log k)

  1. Aอาร์เรย์เรียงลำดับของค่าทั้ง n
  2. Bคิว FIFO ของ k ค่าล่าสุด
  3. Cmin-heap ที่เก็บค่าทั้ง n ตัว แล้วดึงค่าที่น้อยที่สุด k ตัวออกมาตอนท้าย
  4. Dmax-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K8 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K8
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDEF

มีวอล์กความยาว 2 จาก A ไป C กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · Merge sort

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Merge sort เสถียรเมื่อการผสานหยิบจากครึ่งซ้ายก่อนในกรณีที่เท่ากัน ส่วน quicksort แบบทำในที่เดิม heap sort และ selection sort มักไม่เสถียร

คำตอบ

A · Merge sort
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · เวลา O(n) และพื้นที่ O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละขั้นต้องการเพียงสองค่าก่อนหน้า ตารางของวิธีล่างขึ้นบนจึงแทนที่ด้วยตัวแปรสองตัวได้

คำตอบ

D · เวลา O(n) และพื้นที่ O(1)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

คีย์ที่ใหญ่กว่าที่อยู่ใกล้โหนดอยู่ในต้นไม้ย่อยขวา และตัวที่เล็กที่สุดคือโหนดซ้ายสุดที่นั่น

คำตอบ

A · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

รากของ max-heap คือค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เก็บไว้ ค่าใหม่ที่เล็กกว่าแทนที่มันใน O(log k) ฮีปจึงเก็บ k ค่าที่น้อยที่สุดจนถึงขณะนั้นเสมอ

คำตอบ

D · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 2520

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

คำตอบ

H = 2520
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 1

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)AC = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·1 + 0·0 = 1

คำตอบ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms