โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = T(n − 1) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

AO(n²)
BO(2ⁿ)
CO(n)
DO(log n)

2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับสัญกรณ์ little-o ถูกต้อง

A2n = o(n) เพราะ 2n เติบโตช้า
Bn² = o(n)
Cn = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)
Dn = o(n) เพราะทุกฟังก์ชันเป็น little-o ของตัวมันเอง

3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โครงสร้างข้อมูลใดที่การค้นหาในแนวลึก (DFS) แบบวนซ้ำใช้

Aตารางแฮชเท่านั้น
Bคิว
Cสแตก
Dฮีป

4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ใน BST ที่มีราก 50 ต้นไม้ย่อยซ้าย 30 (ลูก 20, 40) และต้นไม้ย่อยขวา 70 (ลูก 60, 80) ลบรากโดยใช้ in-order successor คีย์ใดกลายเป็นรากใหม่

5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 3 จุดยอดดีกรี 4, 4 จุดยอดดีกรี 5, 4 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 33 × deg 44 × deg 54 × deg 2

L =

6.ทฤษฎีกราฟยาก

มีวอล์กปิดความยาว 2 ที่เริ่มและจบที่ D กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2

N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

มี n ระดับ แต่ละระดับทำงานคงที่ เช่น การรวมสมาชิกของอาร์เรย์แบบเรียกซ้ำ

คำตอบ

C · O(n)

2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

f = o(g) หมายความว่า f(n) / g(n) เข้าใกล้ 0 โดย n / n² เข้าใกล้ 0 แต่ n / n = 1 ไม่เข้าใกล้ 0

คำตอบ

C · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)

3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · สแตก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

DFS สำรวจลึกที่สุดเท่าที่ทำได้ โดยใช้สแตกตามธรรมชาติ (หรือสแตกการเรียกของการเรียกซ้ำ) ส่วน BFS ใช้คิว

คำตอบ

C · สแตก

4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · 60

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวาคือ 60 ดังนั้น 60 แทนที่ 50 และตำแหน่งเดิมของมันถูกลบ ถ้าใช้ predecessor จะได้ 40

คำตอบ

C · 60

5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 24

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 52 = 2(L + 15) − 2

L = 24

คำตอบ

L = 24

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 2

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ K_n มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 0 1 0 0

B: 0 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)_DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

คำตอบ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms