โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ในปัญหาการเลือกกิจกรรม กฎละโมบข้อใดให้จำนวนกิจกรรมที่ไม่ทับซ้อนกันมากที่สุดเสมอ

  1. Aเลือกกิจกรรมที่เริ่มเร็วที่สุด
  2. Bเลือกกิจกรรมที่สั้นที่สุดก่อน
  3. Cเลือกกิจกรรมที่ทับซ้อนกับผู้อื่นน้อยที่สุดก่อน แล้วทำซ้ำกับกิจกรรมที่เข้ากันได้
  4. Dเลือกกิจกรรมที่เสร็จเร็วที่สุด แล้วทำซ้ำกับกิจกรรมที่เข้ากันได้
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับสัญกรณ์ little-o ถูกต้อง

  1. An = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)
  2. Bn² = o(n)
  3. C2n = o(n) เพราะ 2n เติบโตช้า
  4. Dn = o(n) เพราะทุกฟังก์ชันเป็น little-o ของตัวมันเอง
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การตรวจว่ามีเส้นเชื่อม (u, v) หรือไม่ด้วยเมทริกซ์ประชิดใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(E)
  2. BO(1)
  3. CO(V)
  4. DO(log V)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

splay tree ทำอะไรหลังการเข้าถึงแต่ละครั้ง

  1. Aเปลี่ยนสีโหนดตามเส้นทางการค้นหา
  2. Bย้ายโหนดที่เข้าถึงไปเป็นใบ
  3. Cหมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก
  4. Dสร้างต้นไม้ใหม่ทั้งหมดให้สมดุล
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 6
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
124151212131595ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · เลือกกิจกรรมที่เสร็จเร็วที่สุด แล้วทำซ้ำกับกิจกรรมที่เข้ากันได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเลือกเวลาเสร็จที่เร็วที่สุดพิสูจน์ได้ว่าเหมาะสมที่สุดด้วยข้อโต้แย้งการแลกเปลี่ยน ส่วนกฎอื่นมีตัวอย่างค้าน

คำตอบ

D · เลือกกิจกรรมที่เสร็จเร็วที่สุด แล้วทำซ้ำกับกิจกรรมที่เข้ากันได้
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

f = o(g) หมายความว่า f(n) / g(n) เข้าใกล้ 0 โดย n / n² เข้าใกล้ 0 แต่ n / n = 1 ไม่เข้าใกล้ 0

คำตอบ

A · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ช่องของเมทริกซ์ที่แถว u คอลัมน์ v บอกทันทีว่ามีเส้นเชื่อมหรือไม่ รายการประชิดอาจต้องสแกนข้างเคียงของ u

คำตอบ

B · O(1)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · หมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การ splay ย้ายโหนดที่เข้าถึงไปที่รากด้วยการหมุน การดำเนินการหนึ่งครั้งอาจใช้ O(n) แต่ต้นทุนกระจายเป็น O(log n)

คำตอบ

C · หมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 40

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 12
B (12): C: 16, D: 27
C (16): E: 28
D (27): F: 40, G: 36
E (28): G: 33
G (33)
F (40)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → D → F
d(F) = 40

คำตอบ

d(F) = 40

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms