โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาในกรณีเลวร้ายที่สุดของ quicksort คือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาการหยุด (halting problem) แสดงว่า

  1. Aบางโปรแกรมทำงานเร็วขึ้นบนคอมพิวเตอร์ที่เร็วกว่า การหยุดจึงขึ้นอยู่กับฮาร์ดแวร์
  2. Bทุกโปรแกรมจะหยุดในที่สุด
  3. Cควรหลีกเลี่ยงลูป
  4. Dไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ทวิภาคมีราก 1 ลูกซ้าย 2 ลูกขวา 3 โหนด 2 มีลูก 4 (ซ้าย) และ 5 (ขวา) การท่องแบบ preorder คืออะไร

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 2 5 1 3
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

โหนด AVL ไม่สมดุลเพราะต้นไม้ย่อยขวาของลูกซ้ายสูงเกินไป (กรณีซ้าย–ขวา) ใช้วิธีแก้ใด

  1. Aหมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด
  2. Bหมุนขวาที่ลูกซ้าย แล้วหมุนซ้ายที่โหนด
  3. Cหมุนซ้ายหนึ่งครั้งที่โหนด
  4. Dหมุนขวาหนึ่งครั้งที่โหนด
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 6
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
2313513111415ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(D) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป D ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: D
d(D) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อเลือกตัวหลักไม่ดีติดต่อกัน (เช่น อินพุตที่เรียงแล้วและเลือกตัวแรกเป็นตัวหลัก) การแบ่งส่วนจะไม่สมดุล ได้ O(n²) ส่วนกรณีเฉลี่ยคือ O(n log n)

คำตอบ

A · O(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ทัวริงแสดงว่าปัญหาการหยุดตัดสินไม่ได้ (undecidable): การสมมติว่ามีตัวตัดสินอยู่นำไปสู่ข้อขัดแย้งกับโปรแกรมที่ทำสิ่งตรงข้าม

คำตอบ

D · ไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · 1 2 4 5 3

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Preorder เยี่ยม 1 แล้วต้นไม้ย่อยซ้าย (2, 4, 5) แล้ว 3 ตัวเลือกอื่นคือ inorder, postorder และ level-order

คำตอบ

B · 1 2 4 5 3
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · หมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การหมุนครั้งแรกเปลี่ยนกรณีซ้าย–ขวาเป็นซ้าย–ซ้าย ซึ่งการหมุนขวาที่โหนดไม่สมดุลแก้ได้

คำตอบ

A · หมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(D) = 8

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): C: 2
C (2): B: 5, E: 7, G: 3
G (3)
B (5): D: 18
E (7): D: 8, F: 18
D (8): F: 11
F (11)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → D
d(D) = 8

คำตอบ

d(D) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms