โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ในอาร์เรย์ที่เรียงแล้ว คุณหาสองสมาชิกที่ผลรวมเท่ากับเป้าหมายโดยเลื่อนตัวชี้จากแต่ละปลายเข้าหากัน ความซับซ้อนเชิงเวลาคือเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

นิยามใดของคลาส P ถูกต้อง

  1. Aปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม
  2. Bปัญหาที่แก้แบบขนานได้
  3. Cปัญหาที่ตรวจคำตอบได้แต่ไม่เคยหาคำตอบได้ในเวลาพหุนาม
  4. Dปัญหาที่ต้องใช้เวลาเอกซ์โพเนนเชียลบนคอมพิวเตอร์ทุกเครื่อง
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ในฮีปทวิภาคที่เก็บในอาร์เรย์เริ่มที่ดัชนี 0 แม่ของโหนดที่ดัชนี i อยู่ที่ใด

  1. Aที่ดัชนี i − 1
  2. Bที่ดัชนี ⌊i / 2⌋ + 1
  3. Cที่ดัชนี 2i + 1
  4. Dที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ต้นไม้แดง–ดำ (red-black tree) ต้องมีคุณสมบัติใด

  1. Aทุกเส้นทางจากโหนดไปยังใบของลูกหลานมีจำนวนโหนดสีดำเท่ากัน
  2. Bรากต้องเป็นสีแดง
  3. Cทุกโหนดต้องเป็นสีแดง
  4. Dโหนดสีแดงทุกโหนดต้องมีลูกสีแดง โหนดสีแดงจึงต่อเป็นสายไม่ขาดตอนไปจนถึงใบ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 18 จุดยอดและ 28 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 18|E| = 28
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
15161714111013720ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 9
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ถ้าผลรวมน้อยเกินไปตัวชี้ซ้ายเลื่อนไปขวา ถ้ามากเกินไปตัวชี้ขวาเลื่อนไปซ้าย จึงมีไม่เกิน n ขั้น

คำตอบ

A · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

P ประกอบด้วยปัญหาการตัดสินใจที่มีอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม เช่น การตรวจว่ากราฟเชื่อมต่อกันหรือไม่

คำตอบ

A · ปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · ที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ลูกของ i อยู่ที่ 2i + 1 และ 2i + 2 ดังนั้นแม่ของ i คือ ⌊(i − 1) / 2⌋ ถ้าดัชนีเริ่มที่ 1 จะเป็น ⌊i / 2⌋

คำตอบ

D · ที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ทุกเส้นทางจากโหนดไปยังใบของลูกหลานมีจำนวนโหนดสีดำเท่ากัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

กฎของแดง–ดำ: โหนดเป็นสีแดงหรือดำ รากเป็นสีดำ โหนดสีแดงมีลูกสีดำ และทุกเส้นทางมี black-height เท่ากัน ทำให้ความสูง ≤ 2 log₂(n + 1)

คำตอบ

A · ทุกเส้นทางจากโหนดไปยังใบของลูกหลานมีจำนวนโหนดสีดำเท่ากัน
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 11

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

18 − 1 = 17

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 28 − 17 = 11

คำตอบ

k = 11
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 72

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

GD (7): เลือก
DF (10): เลือก
DE (11): เลือก
GC (13): เลือก
CE (14): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
AB (15): เลือก
AC (16): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 7 + 10 + 11 + 13 + 15 + 16 = 72

คำตอบ

W = 72

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms