โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึม Floyd–Warshall คำนวณอะไรและเร็วเพียงใด

  1. Aลำดับทอพอโลยีใน O(V²)
  2. Bเส้นทางสั้นที่สุดระหว่างจุดยอดทุกคู่ใน O(V³)
  3. Cเส้นทางสั้นที่สุดจากจุดยอดต้นทางหนึ่งไปยังจุดยอดอื่นทั้งหมดใน O(V + E)
  4. Dต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดใน O(E log V)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหา 0/1 knapsack ที่แก้ด้วยการโปรแกรมพลวัตใช้เวลา O(nW) เหตุใดจึงเรียกว่าเวลาแบบกึ่งพหุนาม (pseudo-polynomial)

  1. AW เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W
  2. Bเพราะใช้ได้เฉพาะ W = 0
  3. Cเพราะอัลกอริทึมเป็นแบบสุ่มและเวลาทำงานแปรผันไปตามอินพุตแต่ละครั้ง
  4. Dเพราะ n มีค่าน้อยเสมอ
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การตรวจว่ามีเส้นเชื่อม (u, v) หรือไม่ด้วยเมทริกซ์ประชิดใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(1)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

โครงสร้าง union-find (เซตไม่เชื่อมกัน) ที่ใช้ union by rank และ path compression มีต้นทุนกระจายต่อการดำเนินการเป็น

  1. AO(log n) พอดี
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(α(n)) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของอัคเคอร์มันน์ ที่แทบเป็นค่าคงที่ในทางปฏิบัติ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 5
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDE

มีวอล์กความยาว 2 จาก D ไป E กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · เส้นทางสั้นที่สุดระหว่างจุดยอดทุกคู่ใน O(V³)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Floyd–Warshall เป็นอัลกอริทึมการโปรแกรมพลวัตที่อนุญาตให้ทีละจุดยอดเป็นจุดผ่านกลาง โดยใช้เวลา O(V³)

คำตอบ

B · เส้นทางสั้นที่สุดระหว่างจุดยอดทุกคู่ใน O(V³)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · W เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เวลาทำงานเป็นพหุนามเมื่อเทียบกับค่าของ W แต่เป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับความยาวของมัน (log W บิต) ปัญหา 0/1 knapsack เป็น NP-complete

คำตอบ

A · W เป็นตัวเลข เวลาจึงเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเทียบกับจำนวนบิตที่ใช้เขียน W
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ช่องของเมทริกซ์ที่แถว u คอลัมน์ v บอกทันทีว่ามีเส้นเชื่อมหรือไม่ รายการประชิดอาจต้องสแกนข้างเคียงของ u

คำตอบ

A · O(1)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(α(n)) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของอัคเคอร์มันน์ ที่แทบเป็นค่าคงที่ในทางปฏิบัติ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อใช้ทั้งสองการปรับปรุง การดำเนินการใช้เวลา O(α(n)) แบบกระจายต้นทุน และ α(n) ≤ 4 สำหรับ n ที่เป็นจริงทุกขนาด

คำตอบ

D · O(α(n)) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของอัคเคอร์มันน์ ที่แทบเป็นค่าคงที่ในทางปฏิบัติ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

จุดยอดคี่

A, B → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 1

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)DE = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·1 + 1·0 = 1

คำตอบ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms