โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การกล่าวว่าอัลกอริทึม O(n²) เป็น O(n³) ด้วย ถูกต้องหรือไม่

  1. Aถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
  2. Bถูกต้อง แต่เฉพาะเมื่อ n น้อยกว่า 100
  3. Cไม่ถูก เพราะ n³ น้อยกว่า n² เมื่อ n มาก
  4. Dไม่ถูก เพราะ Big O ต้องระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอนของฟังก์ชันเสมอ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึม Bellman–Ford ตรวจจับวงจรน้ำหนักติดลบที่ไปถึงได้จากต้นทางอย่างไร

  1. Aนับวงจรด้วยการค้นหาในแนวลึก
  2. Bหลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
  3. Cรัน Dijkstra สองครั้งแล้วเปรียบเทียบผลระยะทางทั้งสองชุด
  4. Dตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดมีน้ำหนักติดลบหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

อัลกอริทึมของ Dijkstra ใช้ชนิดข้อมูลนามธรรมใดเลือกจุดยอดถัดไปที่จะประมวลผล

  1. Aสแตก
  2. Bคิว FIFO
  3. Cคิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)
  4. Dเซตที่ไม่มีลำดับ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

วัตถุถูกเก็บเป็นคีย์ใน hash map จากนั้นฟิลด์ที่ฟังก์ชันแฮชใช้ถูกเปลี่ยน ผลลัพธ์ที่น่าจะเกิดคืออะไร

  1. Amap โยนข้อผิดพลาดทันทีที่ฟิลด์เปลี่ยน
  2. Bmap ย้ายคีย์ไปถังใหม่โดยอัตโนมัติ
  3. Cการค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า
  4. Dไม่มีอะไรเปลี่ยน เพราะแฮชของคีย์คำนวณเพียงครั้งเดียวตอนโปรแกรมเริ่มทำงาน
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 6
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
718201689114ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด B ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 5

เริ่มต้น: Bk = 5
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DF
  7. 7เส้นเชื่อม EF
  8. 8เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Big O เป็นขอบเขตบน ข้อความนี้จึงจริงแต่ไม่แน่น ส่วน Θ(n²) ระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอน

คำตอบ

A · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระยะทางสั้นที่สุดจริงทั้งหมดพบภายใน V − 1 รอบ ถ้ายังปรับปรุงเส้นเชื่อมใดได้อีก ต้องมีวงจรติดลบ

คำตอบ

B · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · คิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Min-priority queue ซึ่งมักเป็นฮีปทวิภาค คืนจุดยอดที่ยังไม่เยี่ยมที่มีระยะทางน้อยที่สุดได้อย่างมีประสิทธิภาพ

คำตอบ

C · คิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · การค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตำแหน่งของคีย์เลือกจากแฮชเก่า เมื่อแฮชใหม่ การค้นหาจะดูผิดถัง คีย์จึงควรเปลี่ยนแปลงไม่ได้ (immutable)

คำตอบ

C · การค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม DF

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. BE (4)
2. AB (7)
3. CE (8)
4. EF (11)
5. DF (9)

เส้นเชื่อมหมายเลข 5

DF

คำตอบ

เส้นเชื่อม DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms