โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เวลาทำงานของ LSD radix sort กับจำนวนเต็ม n ตัวที่มี d หลักในฐาน k คือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(dn log k)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ (undecidable) ต่างจากปัญหาที่จัดการไม่ได้ (intractable) อย่างไร

  1. Aปัญหาที่จัดการไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมใดแก้ได้ ส่วนปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ต้องการเพียงเวลาเอกซ์โพเนนเชียล
  2. Bปัญหาที่ตัดสินไม่ได้อยู่ใน NP ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้อยู่ใน P
  3. Cทั้งสองหมายถึงปัญหาไม่มีอัลกอริทึมเลย
  4. Dปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

รายการประชิดใช้หน่วยความจำเท่าใดสำหรับกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อม

  1. AO(V × E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E²)
  4. DO(V + E)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ตรวจว่าลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวมีวงจรหรือไม่โดยใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(1) ได้อย่างไร

  1. Aนับโหนดจนเกินกว่าฟิลด์ความยาวของลิสต์
  2. Bเรียงลิสต์และหาตัวซ้ำ
  3. Cเก็บทุกโหนดที่เยี่ยมในเซตแฮช
  4. Dเลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 6 จุดยอดและ 13 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 6|E| = 13
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
161732197141ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 5 เส้นที่ถูกข้ามไม่นับ

k = 5
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม EF
  8. 8เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(d(n + k))

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละรอบจาก d รอบเป็น counting sort ที่ใช้ O(n + k) ดังนั้นเมื่อ d และ k คงที่ ผลรวมจึงเป็นเชิงเส้นตาม n

คำตอบ

C · O(d(n + k))
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ปัญหาการหยุดไม่มีอัลกอริทึมเลย ส่วนปัญหา NP-hard เช่น TSP แก้ได้ด้วยกำลังเดรัจฉาน เพียงแต่ไม่ได้ในเวลาพหุนามที่ทราบ

คำตอบ

D · ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(V + E)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละจุดยอดมีรายการ และแต่ละเส้นเชื่อมปรากฏหนึ่งครั้ง (มีทิศทาง) หรือสองครั้ง (ไม่มีทิศทาง) ได้ O(V + E)

คำตอบ

D · O(V + E)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · เลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในอัลกอริทึมของ Floyd ถ้ามีวงจร ตัวชี้เร็วจะไล่ทันตัวช้าในที่สุด มิฉะนั้นตัวชี้เร็วถึง null

คำตอบ

D · เลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 8

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

6 − 1 = 5

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 13 − 5 = 8

คำตอบ

k = 8
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม AB

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

1. BE (1)
2. BD (2)
3. BC (3)
4. EF (14)
5. AB (16)

เส้นเชื่อมหมายเลข 5

AB

คำตอบ

เส้นเชื่อม AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms